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Probabilit` a e Statistica — 02/05/2018 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e s oltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttame nte. Domanda 1. Dire se le seguenti funzioni sono densit` a di probabilit` a. V Fz f (x) = 2(1 + x)/3 se 0 ≤ x ≤ 1, f (x) = 0 altrimenti, V Fz f (x) = 2(2 − 3x), se 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = 0 altrimenti, V Fz f (x) = 2 x se 0 ≤ x ≤ 1 e f (x) = 0 altrimenti. Domanda 2. Siano A, B due eventi con P { A} = 2 /3 e P { B} = 1 /3. Dire se le affermazioni seguenti sono vere o false. V Fz P { A ∩ B} potrebbe avere qualunque valore tra 1/3 e 2 /3, V Fz P { A ∪ B} = 7 /9 se e solo se A e B sono indipendenti, V Fz P { A ∪ B} = 1. Domanda 3. Siano X e Y due variabili aleatorie con densit` a di Bernoulli rispettive B(1 , p ) e B(1 , q ). V Fz se p > q allora X > Y , V Fz se p > q allora E [X] > E [Y ], V Fz se p > q allora P{ X = 0 } < P{ Y = 0 } , V Fz se Var [ X] = Var [ Y ] allora p = q. Domanda 4. Si pesca una carta da un mazzo di 52. Consideriamo i tre eventi A = “esce K,Q o J”, B = “esce una carta di ♠”, C = “esce un 5,4, 3 o 2”. Allora V Fz P { A − C} = P { A} , V Fz A e C sono indipendenti, V Fz A, B, C sono indipendenti, V Fz A e B sono indipendenti. Domanda 5. Siano X ∼ B(1 , p ) (Bernoulli con pa- rametro p) e Y ∼ P (λ) (Poisson con parametro λ) due variabili aleatorie indipendenti. V Fz X + Y ∼ P (p + λ), V Fz E [X + Y ] = p + λ, V Fz P{ XY > 0} = p(1 − e−λ). Domanda 6. Siano X, Y due variabili aleatorie indi- pendenti con densit` a di Bernoulli B(1 , p ). Le variabili aleatorie S = 4 X + 3 Y e T = 3 X − 4Y V Fz hanno densit` a di binomiale B(1 , 7p) V Fz hanno varianze uguali a 25 p(1 − p) V Fz sono…