02 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Meccanica Razionale e dei Continui Docente: prof. Michele Correggi Esercitatore: dott. Michele F antechi Foglio di Esercizi 2 Moti/Atti di moto rigidi 1. Assegnati i punti P e Q di coordinate − →OP = ℓˆı e − →OQ = ℓ(2ˆı − ˆȷ) e le relative velocit` a ⃗ vP = v0ˆi e ⃗ vQ = v0(αˆı + βˆȷ), con ℓ, v0 > 0 e α, β ∈ R, determinare α e β in modo che l’atto di moto sia rigido e in tal caso trovare la velocit` a angolare dell’atto di moto rigido. Mostare poi che l’atto di moto ` e piano per ogni valore dei parametri e determinare per quali valori ` e rotatorio e per quali traslatorio. 2. Si consideri un corpo rigido che si muove nello spazio con velocit` a angolare ⃗ ω(t) = ωˆk. Sapendo che la velocit` a del punto P al tempo t ∈ R ` e⃗ vP (t) = αˆı + βˆk, determinare per quali valori di ω, α e β in R, l’atto di moto ` e piano traslatorio o rotatorio e, in tal caso, dove si trova il centro di istantanea rotazione. Nel caso in cui l’atto di moto non sia piano, determinare poi per quali valori dei parametri esso ` e traslatorio, rotatorio od elicoidale e, negli ultimi due casi, trovare l’asse di istantanea rotazione e l’asse di Mozzi. 3. In un moto polare di un corpo rigido, gli angoli di Eulero al tempo t > 0 e le relative derviate valgono    ϑ = π 4 , ψ = π 6 , φ = 1,    ˙ϑ = √ 3, ˙ψ = 1, ˙φ = √ 2. Determinare la velocit` a angolare, il tipo di atto di moto e la velocit` a del punto P di coordinate cartesiane − →OP = (1, −1, 2). 4. Dimostrare che ogni moto o atto di moto polare piano ` e rotatorio, trovare l’asse di rotazione e il centro e l’asse di istantanea rotazione. 5. Dimostrare che l’atto di moto in ogni moto rigido precessionale ` e rotatorio e trovare l’equazione dell’asse di…