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Analisi Matematica II - 3 Settembre 2012 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1 . Sia T : V → W un’applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Definire il nucleo e l’immagine di T e dimostrare che essi sono sottospazi vettoriali di V e di W rispettivamente. Esercizio 2 Dimostrare che il lavoro di un campo conservativo lungo una curva dipende solo dagli estremi della curva. Esercizio 3 Enunciare il teorema di Green e applicarlo al calcolo dell’area dell’ellisse x2 a2 + y2 b2 ≤ 1. Analisi Matematica II - 3 Settembre 2012 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1 . Data l’applicazione lineare T :R3 →R3 definita da T (x, y, z) = ( −2hx − y + hz, x + z, hz), a) determinare al variare di h ∈R nucleo e immagine di T e una base di entrambi; b) stabilire se per h = 1 esiste una base formata di autovettori di T e in caso affermativo determinarla. Esercizio 2 . Sia f (x, y) = ln ( 2x2 + y 1 − x ) ; a) determinare il dominio di f e stabilire se ` e aperto, chiuso, limitato, connesso e qual ` e la sua frontiera; b) determinare la curva di livello di f passante per P = ( −1, 0) e verificare che essa ` e perpendicolare in P al gradiente di f ; c) trovare la direzione di massima crescita di f in P dopo aver verificato che f ` e differenziabile inP . Esercizio 3 . Calcolare ∫∫ D xydxdy, dove D ` e la regione di piano compresa nel primo quadrante delimitata dagli assi cartesiani, dalla retta y = 1 e dalla curva ln 1 x . Esercizio 4 . Si consideri l’equazione differenziale y′ + 2xy + xex2 y2 = 0; Determinare la soluzione del problema di Cauchy con dato…