03 09 13

Pagina 1

Analisi Matematica [083475], esame del 03/09/2013 Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Si consideri la funzione f (x) = ln x2− 2 x− 1 Si determini il suo dominio di definizione D(f ) ={x∈ R :− √ 2<x< 1, x> √ 2}. Si determinino eventuali parità, disparità e periodicità della funzione. Nessuna parità né periodicità. Si calcolino i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Per quanto riguarda i limiti abbiamo: lim x→− √ 2 − f (x) =−∞, lim x→1− f (x) = +∞, lim x→ √ 2 + f (x) =−∞, lim x→+∞ f (x) = +∞. Non ci sono asintoti obliqui poiché lim x→+∞ f (x) x = 0. Si studi la derivata prima dif. Poiché f′(x) = x2− 2x + 2 (x2− 2)(x− 1), si ottiene che la funzione e‘ sempre crescente essendo la derivata prima sempre positiva. Si disegni il grafico approssimativo della funzione. 2. Si calcoli il limite lim x→0 cosx− 1 + x2 2 2x(x− sinx) . lim x→0 cosx− 1 + x2 2 2x(x− sinx) = lim x→0 1 4!x4 2 3!x4 = 1 8. 3. Si calcolino gli integrali ∫ 1 4 +x2dx, ∫ sin2xdx. Per quanto riguarda il primo, operando la sostituzionex = 2t si ha ∫ 1 4 +x2dx = ∫ 2 4 + 4t2dx = 1 2 ∫ 1 1 +t2dx = 1 2 arctant +c = 1 2 arctanx 2 +c Per quanto riguarda il secondo integrale, dalle uguaglianze ∫ sin2xdx = ∫ (1− cos2x)dx =x− sinx cosx− ∫ sin2xdx, si ottiene ∫ sin2xdx = x− sinx cosx 2 . Si poteva arrivare allo stesso risultato osservando chesin2x = 1 2 (1− cos 2x). 4. Si studi la convergenza totale e assoluta della serie +∞∑ n=1 (−1)n sin 1 n. Per quanto riguarda la convergenza assoluta, dal criterio del confronto asintotico: sin 1 n∼ 1 n, segue che la serie diverge. Per quanto la convergenza semplice, la serie è a segno alternato e, grazie alla monotonia di sinx per 0<x< 1, per il…