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T rasformata di Laplace Parole chiave:T rasformata di Laplace; trasformata della derivata; trasformata dell’integrale; trasformata della convoluzione; trasformata del segnale moltiplicato per scalare; trasformata del segnale ritardato; trasformata del prodotto con esponenziale; trasformate e segnali notevoli; poli e zeri di un segnale; antitrasformata e metodo di Heaviside Nel capitolo precedente abbiamo introdotto definizioni e metodi per caratterizzare il movimento libero di un sistema lineare. Abbia- mo anche visto come questi metodi possano essere utilizzati nello studio del movimento forzato per ingresso costante, ma non abbia- mo ancora strumenti sufficienti a trattare in maniera efficiente lo stu- dio del movimento forzato per ingressi arbitrari. Per acquisire questi strumenti abbiamo bisogno di imparare a conoscere la Trasformata di Laplace. Definizione della trasformata di Laplace Abbiamo capito a questo punto del corso che l’oggetto del nostro stu- dio sono rappresentazioni matematiche di sistemi fisici, nella forma di relazioni differenziali: ˙x=Ax+Bu, oppure ¨y+a˙y+...=b˙u+cu+..., oppure x(t)=eAtx0+eAt Zt 0 e AtBu(t)dt. Queste equazioni coinvolgono derivate ed integrali, che sono oggetti scomodi con cui lavorare. La trasformata di Laplace permette di riscrivere le equazioni pre- cedenti in una forma equivalente, dove pero’ derivate e integrali si trasformano in sottrazioni e somme, semplificando di molto il nostro lavoro di analisi. Cominciamo introducendo la definizione formale della trasforma- ta. 44 appunti di automatica ⌅ Definizione: T rasformata di Laplace siaf(t):[0,•)!Runa funzione a valore reale che soddisfa Z• 0 |f(t)e st|dt<• per uns2R. Definiamo trasformata di Laplacedif(t)la funzione della variabile complessas F(s):= Z• 0 f(t)e stdt. Se R• 0|f(t)e…