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Analisi Matematica II - 5 maggio 2015 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d'iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giusti cate. La prova di teoria viene valutata nel suo com- plesso. Domanda 1 . i) Siano V e W due spazi vettoriali; dire cosa signi ca che un'applicazione T : V ! W  e lineare. Si veda il libro di testo. ii) Mostrare che se T : V ! W  e un`applicazione lineare iniettiva tra due spazi vettoriali, e se v1; :::vk sono vettori linearmente indipendenti di V , allora f (v1); :::f(vk) sono vettori linearmente indipendenti di W . Se c1f v1 + ::: + ckf vk = 0 , allora per la linearit a di f si ha che f (c1v1 + ::: + ckvk) = 0 , da cui, per l'iniettivit a di f , c1v1 + ::: + ckvk = 0 . Essendo v1; :::; vk linearmente indipendenti i coefficienti c1; :::ck sono tutti nulli. Domanda 2 i) Dare la de nizione di autovettore di un'applicazione lineare T : V ! V Si veda il libro di testo. ii) Mostrare che l'autospazio V relativo all`autovalore   e sottospazio vettoriale diV . Si veda il libro di testo. Domanda 3 i) Sia f (x; y) una funzione in due variabili de nita in un aperto A  R2 e sia (x0; y0) 2 A. De nire la derivata di f rispetto a x in ( x0; y0). Si veda il libro di testo. ii) Mostrare che la derivata di f rispetto a x in ( x0; y0)  e la derivata della restrizione di f alla retta y = y0 calcolata in x0. Si veda il libro di testo. Analisi Matematica II - 5 maggio 2015 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d'iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giusti cate. Esercizio 1. (7 punti) Stabilire per quale valore del parametro reale k l'applicazione T (x; y; z) = (kx + y; (k + 2)ex; y z)  e lineare. In corrispondenza del valore di k trovato determinare…