05 05 2008

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Equazioni Differenziali Ordinarie Prima prova in itinere 5 maggio 2008 Cognome Nome Firma Proff. F urioli, Rossi, Vegni Matricola Sezione INF c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto Esercizio 1.A. `E data l’equazione autonoma x′ = x3 − 2x2 + mx dipendente dal parametro m. a. Trovarne i punti di equilibrio, al variare del parametro m. b. Determinarne la natura ed eventualmente il bacino di attrazione. Esercizio 1.B. Dimostrare il criterio si stabilit` a per le equazioni autonome x′ = f (x). Soluzione 1.A. a. I punti di equilibrio di un’equazione autonoma x′ = f (x) coincidono con gli zeri della funzione generatrice f . L’equazione f (u) = 0 da soluzioni    u1 = 0 u2 = 1 − √1 − m u3 = 1 + √1 − m. Quindi   se m > 1 c’` e un solo punto di equilibrio u1 ovvero la funzione generatrice ha una sola intersezione con l’asse x se m = 1 ci sono due punti distinti di equilibrio u1 e u2 = u3 = 1 se m < 1 e ̸= 0 ci sono tre punti di equilibrio distinti u1, u2, u3 se m = 0 ci sono due punti distinti di equilibrio u1 = u2 = 0 e u3. −1 0 1 2 3 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 m=0 −1 0 1 2 3 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0<m<1 −1 0 1 2 3 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 m=1 −1 0 1 2 3 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 m>2 −2 0 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 m<0 Figura 1. La funzione generatrice assegnata nell’Esercizio 1, con i punti critici evidenti in rosso, in relazione al parametro m. Lo studio della loro stabilit` a si effettua immediatamente per via qualitativa, osservando il segno della funzione generatrice. 1 2 b. Per studiare la stabilit` a dei punti di equilibrio possiamo…