06 05 2013

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POLITECNICO DI MILANO FONDAMENTI DI AUTOMATICA (Ingegneria Informatica – Allievi da E a O) Prof. Maria Prandini Anno Accademico 2012/13 I Prova in Itinere del 6 maggio 2013 NOME ................................................................................................... MATRICOLA ....................................................................................... FIRMA ..................................................................................................  Consegnare esclusivamente il presente fascicolo.  Utilizzare, per la minuta, i fogli bianchi forniti in aggiunta a questo fascicolo.  Non si possono consultare libri, appunti, dispense, ecc.  Si raccomandano chiarezza, precisione e concisione nelle risposte. 1. Si consideri il sistema    ˙x1(t) =−αx1(t)− 2αx2 2(t) ˙x2(t) =−x2(t) +u(t) y = 3x1(t) doveα ` e un parametro reale non nullo (α̸= 0). 1.1 Determinare lo stato di equilibrio associato all’ingresso costante u(t) = 1, t≥ 0, e valutare le sue propriet` a di stabilit` a al variare diα. 1.2 Determinare l’espressione analitica del movimento dell’uscita y(t) associato a u(t) = 1, t≥ 0, x1(0) = 2 e x2(0) = 1. 2. Si consideri il sistema in figura dove G(s) = 10 1 +s H(s) = 1 1 + 100s R(s) =µ sono le funzioni di trasferimento di sistemi lineari senza autovalori nascosti. 2.1 Determinare la funzione di trasferimento del sistema con ingresso y◦ ed uscita y. 2.2 Posto µ = 1, verificare che il sistema con ingresso y◦ ed uscita y ` e asintoticamente stabile. 2.3 Posto µ = 1, trovare l’espressione analitica della risposta di regime del sistema con ingresso y◦ ed uscita y all’ingresso y◦(t) = 10sin(0.001t) + 2. 2.4 Dire, giustificando la risposta, se esiste un valore di µ tale che il sistema con ingresso y◦ ed uscita y non ` e asintoticamente stabile.