06 09 2012

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Prova scritta di Analisi Matematica 2 - 6 Settembre 2012 Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni Proff. Berchio - Gazzola Domanda di teoria: Illustrare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la determinazione di estremi vincolati. 1) Data la funzione nel piano f(x,y ) =    y log ( 2x2 +y2 3x2 + 2y2 ) se (x,y )̸= (0, 0) 0 se ( x,y ) = (0, 0). Studiare continuit` a, derivabilit` a e differenziabilit` a dif nel punto (x,y ) = (0, 0); 2) Si consideri la curva piana di equazione r(t) = (2t− sin(2t), cos(2t)) ∈ [0,π ]. a) Dire se r ` e una curva regolare (motivare la risposta); b) scrivere l’equazione cartesiana della retta tangente alla curva in P = (π 2− 1, 0); c) determinare la lunghezza della curva. 3) Si consideri il campo vettoriale F (x,y,z ) = ( 3x2 +yzexz ) i +exzj + ( z +xyexz ) k, (x,y,z )∈ R3. (a) Stabilire se F ` e irrotazionale; (b) E’ possibile dedurre da ( a) che F ` e conservativo? In casoF sia conservativo, determinarne un potenziale. 4) Dato il sistema { x′(t) =x(t)−y(t) y′(t) = 2x(t)−y(t) . a) Scrivere l’integrale generale del sistema in forma scalare e in forma vettoriale; b) Si determini la natura dell’origine come punto di equilibrio e si tracci un grafico qualitato delle traiettorie nel piano delle fasi in un intorno dell’origine; Nota: ogni esercizio vale 8 punti, la domanda di teoria verr` a valutata solo a coloro che abbiano maturato un punteggio di almeno 24/32 nella votazione complessiva dei quattro esercizi. SOLUZIONE (6/09/2012) 1) In coordinate polari f(ρ cosθ,ρ sinθ) =ρ sin(θ) log ( 1+cos2(θ) 2+cos2(θ) ) . Essendo 1/3≤ 1+cos2(θ) 2+cos2(θ)≤ 1, al- lora| sin(θ) log ( 1+cos2(θ) 2+cos2(θ) ) |≤ log 3. Da cui f(ρ cosθ,ρ sinθ) tende a zero per ρ→ 0 uniformemente rispetto a θ∈ [0, 2π) e, in particolare, f ` e continua in (0, 0).…