07 05 2007

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Equazioni Di erenziali Ordinarie Prima prova in itinere 7 maggio 2007 Cognome Nome Firma Prof.ssa Furioli Matricola Sezione INF c I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto Esercizio 1. Riferendosi all'equazione di erenziale y0 = y y1=5 1 + t2 a. citando i teoremi noti, prevedere per quali tra i seguenti problemi di Cauchy y(0) = 0 y(0) = 1 y(0) = 1 la soluzione locale esiste unica; b. integrare l'equazione; c. risolvere i problemi di Cauchy del punto a. Soluzione: a. Si ha f(t;y) = y y1=5 1+t2 : R  R ! R e f 2 C 0(R  R), dunque per il teorema di Peano ognuno dei problemi di Cauchy proposti ammette almeno una soluzione. Inoltre, per ogni (t;y) per cui y 6= 0 la derivata parziale @f @y(t;y) = 1 1 5 y 4=5 1+t2 e continua in (t;y), dunque il teorema di Cauchy{Lipschitz di esistenza ed unicita in piccolo si applica ai problemi y(0) = 1 e y(0) = 1, mentre per il problema y(0) = 0 non si puo garantire l'unicita della soluzione. b. Si tratta di un'equazione a variabili separabili e di Bernoulli. Ricerchiamo le soluzioni costanti. y y1=5 = 0 () y1=5(y1=5 1)(y1=5 + 1)(y2=5 + 1) = 0 () fy = 0g [ fy = 1g [ fy = 1g: Dunque, per l'unicita l'unica soluzione del problema di Cauchy y(0) = 1 e la soluzione costante y1(t) = 1 per ogni t 2 R e l'unica soluzione del problema di Cauchy y(0) = 1 e la soluzione costante y2(t) = 1 per ogni t 2 R; invece per il problema di Cauchy y(0) = 0 esiste sicuramente la soluzione costante y3(t) = 0 per ogni t 2 R ma potrebbero esistere anche altre soluzioni non costanti. Se y(t) 6= 0 possiamo dividere per y1=5 ottenendo y0 y1=5 = 1 1 + t2 y4=5 + 1 1…