07 07 2011

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Esame di Analisi Matematica 2 (Ingegneria Informatica) Prof. Daniele Cassani 7 luglio 2011 NOME E COGNOME: MA TRICOLA: N.B. Sono concesse due ore per la risoluzione dei tre esercizi. Non ` e concesso l’uso di libri di testo, appunti ed eserciziari. Non ` e permesso l’uso di calcolatori e telefoni di alcun genere. Esercizio 1 (a) Enunciare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange; (b) Determinare, se esistono, massimo e minimo assoluti della funzione f(x,y ) = x5 +y5 sull’insieme{(x,y )∈ R2|x2 +y2≤ 1}; (c) Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f(x,y ) nel punto (1, 1, 2). Soluzioni: L’esistenza del massimo e minimo assoluti ` e garantita dal teorema di Weierstrass essendof continua su un insieme chiuso e limitato. All’interno della palla unitaria l’unico punto critico per f ` e l’origine e valutando l’incrementof(x,y )−f(0, 0) =f(x,y ) che cambia segno in un intorno dell’origine, questa ` e una sella. Restringendosi alla sfera unitaria dove−1≤f≤ 1 si vede che il massimo assoluto vale 1, nei punti (1 , 0) e (0, 1), e analogamente il minimo assoluto vale−1 ed ` e assunto nei punti (−1, 0) e (0,−1). (c) Piano tangente: z = 2 + 5(x− 1) + 5(y− 1). Esercizio 2 (a) Dare la definizione di convergenza puntuale, uniforme e totale per serie di funzioni; (b) Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie ∞∑ 0 n 1 +n4x4 . Soluzione: Per x = 0 la serie diverge mentre per x̸= 0 il termine generale ` e asintotico al- l’armonica convergente 1 /n3x4; pertanto la serie converge puntualmente per x ̸= 0. Per il criterio di Weierstrass si ha che la convergenza ` e totale (e quindi uniforme) su insiemi del tipo (−∞,−β]∪ [α,∞), con α,β >0. 2 Esercizio 3 (a) Si consideri il problema di Cauchy { y′ = arctany y(0) =y0, y 0∈ R e stabilire se vale il teorema di esistenza ed…