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Analisi Matematica II - 7 settembre 2015 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’iscrizione obbligatorio: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. La prova di teo ria viene valutata nel suo complesso. Domanda 1 . i) Sia T : V → W un’applicazione lineare; definire l’immagine di T . Si dice immagine di T il sottoinsieme di W costituito da tutte le uscite di T, cioè: im (T ) = {T x ∈ W : x ∈ V } ii) Dimostrare che l’immagine di T è un sottospazio vettoriale di W. Siano w1,w2 ∈ W. Allora, per definizione di Immagine, αw1 +βw2 = αT x1 +βT x2. Per la linearità di T ora si ha: αT x1 +βT x2 = T (αx1 +βx2) ∧αx1 +βx2 ∈ V =⇒ T (αx1 +βx2) ∈ im (T ). Domanda 2 Enunciare e dimostrare la formula del gradiente in R2. Ipotesi: Sia A ⊂ R2,A aperto, sia f : A − →R, differenziabile in (x0,y 0) ∈ A e sia v = (cosθ, sinθ). T esi:Dv(f (x0,y 0) = ∇f(x0,y 0) • v. Dim: Per definizione. Dv(f (x0,y 0) = lim t− →0 f (x0 +t cosθ,y 0 +t sinθ) −f (x0,y 0) t . Per la differenziabilità di f abbiamo f (x0 +t cosθ,y 0 +t sinθ) −f (x0,y 0) = fx(x0,y 0)t cosθ +fy(x0,y 0)t sinθ +o(
t2 cos2θ +t2 sin2θ) = = [fx(x0,y 0),f y(x0,y 0)] ·  t cosθ t sinθ  +o(t) Conclusione Dv(f (x0,y 0) = [fx(x0,y 0),f y(x0,y 0)] ·  cosθ sinθ  = ∇f (x0,y 0) • v. 1 Domanda 3 i) Scrivere le formule di riduzione per gli integrali doppi. Se il dominio di integrazione Ω è x −semplice, cioè c ≤ y ≤ d,h (y) ≤ x ≤ k(y);h,k ∈ C 0([c,d ] allora:   Ω f (x,y )dxdy =  d c dy  k(y) h(y) f (x,y )dx Se il dominio di integrazione Ω è y −semplice, cioè a ≤ x ≤ b,h (x) ≤ y ≤ k(x);h,k ∈ C0([a,b ] allora:   Ω f (x,y )dxdy =  b a dx  k(x) h(x) f (x,y )dy ii) Calcolare  1 0  1 y sin(x2)dx  dy dopo aver individuato l’insieme Ω di integrazione di f (x,y ) = sin x2. Intanto Ω è il triangolo…