07 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegnaria Matematica Meccanica Razionale e dei Continui Docente: prof. Michele Correggi Esercitatore: dott. Michele F antechi Foglio di Esercizi 7 Vettori 1. Dimostrare l’identit` a|⃗ a∧ ⃗b|2 = |⃗ a|2|⃗b|2 − (⃗ a· ⃗b)2, per ⃗ a,⃗b e ⃗ c∈ R3. Momenti e tensore di inerzia 2. Si consideri un sistema formato da 4 punti materiali di massa m > 0 posti sui vertici di un quadrato centrato nell’origine di lato ℓ giacente sul piano x, y. Si determini il momento di inerzia del sistema rispetto agli assi x e z e rispetto ad un asse passante per il punto (2 ℓ, 0) parallelo all’asse z. 3. Si consideri un sistema formato da 3 punti materiali di masse m, 2m e 3m, con m > 0, situati rispettivamente nei punti O, A e B, con ⃗ xA = (0, a) e ⃗ xB = (a, a), con a > 0. Si scriva il tensore di inerzia I(O) del sistema rispetto all’origine e si trovino i momenti e gli assi principali di inerzia. 4. Si calcoli la posizione del centro di massa, il tensore di inerzia (rispetto al centro del disco di base), i momenti e gli assi principali di inerzia di un tronco di cono omogeneo di raggio di base R, altezza h e massa m. Si determini inoltre il momento di inerzia rispetto ad un asse sul piano della base tangente al cerchio di base ed ad un asse parallelo all’asse di rotazione del cono e tangente alla base minore. Quantit` a meccaniche per il corpo rigido 5. Si consideri l’Esercizio 3 dell’Esercitazione 5: si determini l’impulso totale, l’energia cinetica e il momento angolare complessivo del sistema rispetto all’origine, dopo aver integrato il vincolo di puro rotolamento. 6. Si consideri un disco omogeneo di raggio R > 0 che rotola senza strisciare su un piano orizzontale: 6.1. si integri il vincolo di puro rotolamento, assumendo che al tempo…