Esame completo di STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS per il corso di Mathematical Engineering presso Politecnico di Milano. Materiale proveniente dall’archivio storico Studwiz e classificato per la consultazione online.
Esame completo di STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS per il corso di Mathematical Engineering presso Politecnico di Milano. Materiale proveniente dall’archivio storico Studwiz e classificato per la consultazione online.
Qualità dell’importazione: il testo è stato estratto direttamente dal documento originale.
Passaggi rappresentativi riconosciuti nelle diverse parti del materiale. Il testo completo resta presente nella pagina per la ricerca, mentre l’anteprima compatta rende più semplice la lettura.
PolitecnicodiMilano-ScuoladiIngegneriaIndustrialeedell’Informazione StochasticDifferentialEquations-PartA January,82025 c©Idirittid’autoresonoriservati.Ognisfruttamentocommercialenonautorizzatosar`aperseguito. Surname,Name,Matricola Question1. LetB=(Ω,F,(Ft)t,(Bt)t,P)beaBrownianMotion. 1.ShowthatBadmitsacontinuousmodification. 2.ShowthatthepathsofaBrownianMotiondonothavefinitevariationinanytimeintervala.s. 3.Explaintheconsequenceoftheresultatpoint2.intheconstructionofthestochasticintegral. Question2. Stateandprovetheexistenceanduniquenesstheoremforstrongsolutionsofastochasticdifferential equationunderlocally-Lipschitzassumptionsonthecoefficients. PolitecnicodiMilano-ScuoladiIngegneriaIndustrialeedell’Informazione StochasticDifferentialEquations-PartB January,82025 c©Idirittid’autoresonoriservati.Ognisfruttamentocommercialenonautorizzatosar`aperseguito. Surname,Name,Matricola Exercise1. LetB=(Ω,F,(Ft)t,(Bt)t,P)beacontinuousstandardBrownianMotion.Wedefinethestochastic processes Xt=4t−4B2 t−32 t 0 B2 sds, Yt=eXt. 1.ShowthatXtisanItoprocess. 2.CalculatethestochasticdifferentialofXt. 3.DeterminethequadraticvariationandthefirstvariationofXt. 4.CalculatethestochasticdifferentialofYt. 5.ShowthatYtisalocalmartingale. 6.ShowthatYtisamartingale. 7.FixedT>0,findaprobabilityQequivalenttoP|FT anddefineintermsofBtanewprocess (Bt)t∈[0,T]suchthatitisanFt-standardcontinuousBrownianMotionunderQ. Solution 1.WecanwriteXt=Ut+VtwhereUt=−4B2 tandVt= t 0(4−32B2 s)ds.UtisanItoprocesssince Ut=f(Bt)andthefunctionf(x)=−4x2belongstothespaceC2(R).VtisanItoprocesswith Gt=0andFt=4−32B2 t∈M1 loc[0,T]sincethepathsoftheprocessB2 tarecontinuous.Hence theprocessXtisanItoprocessassumoftwoItoprocesses. 2. dXt =−8BtdBt−4dt+4dt−32B2 tdt =−32B2 tdt−8BtdBt, X0=0 3.Wehavethat <X>t= t 0 64B2 tds.…
Prima pagina del documento.
