08 05 2009

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Equazioni Differenziali Ordinarie Prima prova in itinere 8 maggio 2009 Cognome Nome Firma Proff. Rossi, V egni Matricola Sezione INF c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto Esercizio 1. a. Enunciare i teoremi di esistenza locale e di esistenza ed unicit` a locale per il problema di Cauchy{ y′ = f (t, y) y(t0) = y0. Data l’equazione y′ = 2y t + 2t√y b1. discutere l’applicabilit` a dei risultati citati al problema di Cauchy y(t0) = y0. b2. Studiare analiticamente il problema di Cauchy y(1) = 0 determinando (se esiste) una (o pi` u) soluzione locale e disegnarne il grafico locale. Soluzione. a. Vedi libro di testo. b1. Il problema differenziale ha soluzione locale unica nel quadrante A+ = {(t, y) ∈R2 : t > 0, y > 0} oppure nel quadrante A− = {(t, y) ∈R2 : t < 0, y > 0}dove f (t, y) = 2y t + 2t√y ` e continua con la sua derivata parziale fatta rispetto ad y. Osserviamo inoltre che la retta y = 0 (frontiera di tali quadranti, dove l’equazione ha significato) ` e soluzione del problema differenziale. Lungo tale retta non ci sono le condizioni per assicurare unicit` a della soluzione. b2. Integrando l’equazione (di Beronulli), in A+ in considerazione del problema di Cauchy assegnato, otteniamo: y′ 2√y = √y t + t posto z = √y z′ = z t + t z = t(t + c) y = t2(t + c)2. Oltre alla soluzione y = 0, il problema assegnato ha anche la soluzione (vedi Figura 1) y(t) = { 0 0 < t ≤ 1 t2(t − 1)2 t > 1. −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −3 −2 −1 0 1 2 3 t y Figura 1. Soluzione Esercizio 1. 1 2 Equazioni Differenziali Ordinarie Prima prova in itinere 8 maggio 2009 Cognome Nome Firma Proff. Rossi, V…