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1 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 8 Luglio 2008 1. Si consideri un sistema dinamico lineare a coefficienti costanti a tempo continuo con la seguente funzione di trasferimento dall’ingresso u(t) all’uscita y(t): 3 2 16 2( ) 1 b b b a b - + = + + + + - s G s s s s 1.a Mediante il criterio di Routh-Hurwitz, si determini per quali valori di ( , )a b il sistema sia asintoticamente stabile. Si indichi anche graficamente, nel piano ( , )a b , la regione di asintotica stabilità così trovata. 1.b Si consideri il caso in cui a = –1 e b =3. Si determini l’espressione analitica della risposta y(t) del sistema quando l’ingresso u(t) ha trasformata di Laplace 2 2 ( 1)( ) 174 4 += - + sU s s s . Si giustifichi accuratamente la risposta. Soluzione 1.a Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema sia asintoticamente stabile è che i poli di G(s) abbiano tutti parte reale negativa. Costruiamo allora la tabella di Routh-Hurwitz relativa al polinomio denominatore di G(s): 2 1 0 1 0 1 0 1 b b a b a b b b a b
  + -   + - --     + -  Condizione necessaria e sufficiente affinché i poli di G(s) abbiano tutti parte reale negativa è che i coefficienti della prima colonna della tabella siano non nulli e dello stesso segno: visto che il primo elemento della prima colonna vale 1>0, si deve allora imporre che 2 0 1 0 1 0 b a b b b a b >  + - - - >   + - > da cui si ottengono le condizioni 2 2 0 1 0 1 1 0 1 b a b b a b b a b a b >  + - - < < - +  + - > > - + Graficamente, considerando, per semplicità, il piano ( , )b a invece che ( , )a b , si ha che la regione di asintotica stabilità è quella ombreggiata in grigio qui sotto (si ricorda che il tratteggio su una curva indica che è esclusa dalla regione di asintotica stabilità): 2 a 1 0…