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Analisi Matematica II - 08/07/11 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1. Sia f (x, y) = ( x + 1)e− √ x2+y2 . (a) Dare la definizione di punto di minimo relativo; (b) Determinare gli estremi assoluti di f nel cerchio chiuso C = {(x, y) ∈R2 |x2 + y2 ≤ 4}. (c) Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat. Soluzione (b) Le derivate parziali, se (x, y) ̸= (0, 0), valgono: fx = e− √ x2+y2 ( 1 − x√ x2 + y2 (x + 1) ) , f y = −(x + 1)e− √ x2+y2 y√ x2 + y2 Nel punto P1 = (0 , 0) non ` e garantita l’esistenza delle derivate parziali e pertanto il punto P1 verr` a analizzato a parte. I punti stazionari si trovano annullando le derivate parziali: le soluzioni dell’equazione fy = 0 sono x = −1 e y = 0 . Sostituendo x = −1 nell’equazione fx = 0 si trova l’equazione e− √ 1+y2 = 0 che non ha soluzioni. Sostituendo y = 0 nell’equazione fx = 0 si trova l’equazione 1 − x |x|(x + 1) = 0 ; se x > 0 l’equazione diventa 1 − (x + 1) = 0 che ha per soluzione x = 0 a cui corrisponde il punto P1; se x < 0 l’equazione diventa 1 + ( x + 1) = 0 che ha per soluzione x = −2 a cui corrisponde il punto P2 = (−2, 0) che non ` e interno al dominio. Pertanto all’interno del dominio l’unico candidato estremo ` e il punto P1. Sulla frontiera di C si ha che f|∂C = (x + 1)e−2, −2 ≤ x ≤ 2, e tale funzione, essendo crescente, ha minimo in P2 = (−2, 0) e massimo in P3 = (2, 0). Per il teorema di Wierstrass, essendo f continua su C chiuso e limitato, f avr` a massimo e minimo assoluti inC. I candidati estremi sono i punti P1, P2, P2, confrontando f (P1) = 1 , f(P2) = −e−2, f(P3) = 3 e−2, si deduce che il minimo assoluto ` e −e−2 e il massimo assoluto ` e 1. Esercizio 2. Si calcoli l’integrale doppio: ∫∫ D x − 1 (x − 1)2 + y2 dxdy, dove D =…