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Analisi Matematica II - 9 Luglio 2012 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1 . (a) Si definisca un campo vettoriale conservativo F : R3 ! R3. (b) Si enunci una condizione sufficiente affinch` e un campo F : R3 ! R3 sia conservativo. Motivare le risposte. Esercizio 2 (a) Enunciare il teorema di rappresentazione di applicazioni lineari. (b) Spiegare la relazione tra la dimensione dell’immagine di un’applicazione lineare L e il rango della matrice corrispondente AL. Motivare le risposte. Esercizio 3 (a) Dare la definizione di funzione derivabile in (0 ; 0). (b) Dimostrare che se una funzione ` e differenziabile in (0 ; 0) ` e anche ivi derivabile. Motivare le risposte. Analisi Matematica II - 9 Luglio 2012 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1 . Si consideri il sistema    2x y (k + 1)z = k x + (k 1)z = 0 x + (k 1)y + (2 k)z = 0 dove k ` e un parametro reale. (a) determinare per quali valori del parametro k il sistema ammette soluzioni; (b) in corrispondenza di tali valori del parametro determinare tutte le soluzioni del sistema; (c) interpretare geometricamente i risultati ottenuti. Esercizio 2 . Si consideri la trasformazione F (x; y) = ( u; v) del piano in s` e di equazione{ u = ex v = x y . 1) Qual ` e l’immagine F (R2) ? 2) La corrispondenza tra R2 e la sua immagine ` e bijettiva ? 3) In tal caso verificare che l’inversa della matrice jacobiana di F , calcolata nel punto ( x; y), ` e la matrice jacobiana della trasformazione inversa F −1 calcolata nel punto ( u; v) = F (x; y). Esercizio 3 . Risolvere il problema di Cauchy    y′′ 3y′ + 2y = et y(0) = 0 y′(0) = 0 Esercizio 4 . Trovare gli estremi assoluti di f (x; y)…