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09.09.2016 — Esercizi Esercizio 1 Sia X la variabile aleatoria avente densit` a fX(x) = { cx4 −2 < x < 2 0 altrove . 1.1 Determinare il valore da attribuire a c affinch´ efX sia effettivamente la densit` a di una variabile aleatoria. Soluzione: c = 5 64. 1.2 Determinare valore atteso e varianza di X. Soluzione: E [X] = 0; Var [X] = 20 7 . 1.3 Sia X1, . . . , X100 un campione i.i.d. distribuito come X, e sia X la media campionaria. Determinare la distribuzione asintotica di X. Soluzione: X≈N (0, 1 35) 1.4 Con l’aiuto della distribuzione ottenuta al punto precedente, determinare approssimativamente un valore k tale che P {⏐⏐X ⏐⏐ < k } = 0.9. Soluzione: k = 0.2781. Esercizio 2 Il signor Olivander vive a Zoagli, ma ogni giorno va a Genova ad aprire il suo negozio alle 3 del pomeriggio. Se parte all’una la durata del suo viaggio, calcolato in minuti primi, ` e una variabile aleatoria con legge normale di media 100 minuti e deviazione standard 10 minuti, mentre se parte all’una e mezza la durata si distribuisce come una normale di media 85 minuti e deviazione standard 15 minuti. Sceglie l’orario di partenza lanciando una moneta bilanciata. 2.1 Calcolare la probabilit` a che il suo viaggio duri pi` u di un’ora e mezza (90 minuti). Soluzione: 0.6054 2.2 Sapendo che il suo viaggio ieri ` e durato pi` u di un’ora e mezza, calcolare la probabilit` a che fosse partito alle 13:30. Soluzione: 0.3051 2.3 Calcolare la probabilit` a che la prossima settimana (da marted`ı a sabato), tutti i suoi viaggi durino pi` u di un’ora e mezza. Si suppongano le durate dei viaggi in giorni diversi indipendenti. Soluzione: 0.0813 2.4 Calcolare la probabilit` a che oggi il signor Olivander apra in ritardo. Soluzione: 0.1961 Esercizio 3 Per controllare l’efficienza di un canale di trasmissione digitale…