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Probabilit` a e Statistica — 09.09.2016 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Si estrae in maniera uniforme un numero dall’insieme{2,..., 10}. Sia A l’evento “esce un numero pari”,B l’evento “esce un numero minore di 5”,C l’evento “esce un numero divisibile per 3”. Indicare le affermazioni vere V FzA e B sono indipendenti, V Fz P(B) = P(C), V FzB =C, V FzA∩C =A∩B. Domanda 2. SiaX una variabile aleatoria con densit` a Binomiale B(n,p ). Sia Y =n−X. Allora: V FzY ha sempre densit` a binomialeB(n,p ), V Fz Y ha sempre densit` a binomialeB(n, 1−p), V Fz Var [Y ] =np(1−p), V FzVar [Y ] =n +np(1−p). Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria la cui fun- zione di ripartizione FX ` e data daFX(x) = 0 per x≤ 1 e FX(x) = 1/x2 per x > 1. Apporre i corretti valori di verit` a alle seguenti affermazioni: V Fz P{X >1} = 1 V Fz P{X >2} = 1/2, V FzP{ 3<X ≤ 4} = 1/6, V Fz Il valore atteso di X non esiste. Domanda 4. Siano X,Y due variabili aleatorie con medie nulle e V [X] = V [Y ] = 4, Cov[X,Y ] =−1. Quale delle seguenti affermazioni ` e l’unica sempre vera? V [X +Y ] =V [X−Y ], V [X +Y ] = 4, z V [X +Y ]<V [X−Y ], P{|X +Y|≤ 100} = 1. Domanda 5. Siano X,Y due variabili aleatorie in- dipendenti con densit` a rispettive di Bernoulli B(1, 1/2) e di Poisson P(1/2). Qual ` e l’ unica vera delle seguenti affermazioni? z P{X−Y >0} = e−1/2/2, P{X +Y = 0} = e−1/2, E[X +Y ] = 2 E[XY ] = 1/2. Domanda 6. SiaX1,...,X n unn-campione della den- sit` a normaleN(µ,σ 2) con mediaµ e varianzaσ2. Sia S2 n = 1 n−1 ∑n i=1(Xi−X n)2 e S2 0 = 1 n ∑n i=1(Xi−µ)2. Apporre i corretti valori di verit` a alle…