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Analisi Matematica II - 10/02/12 Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante 1. Enunciare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. 2. Enunciare una condizione necessaria affinch` e una forma differenziale sia esatta (in altri termini: affinch` e un campo vettoriale sia conservativo). 3. Sia fk : R3 − →R3 l’omomorfismo definito da fk     x y z     =   kx 3x + y + 3z kx + 2z   k ∈ R. (a) Per quali valori di k il vettore   1 6k 3   appartiene all’immagine di Lk ? Determinarne la controimmagine. (b) Stabilire per quali valori di k l’omomorfismo fk non ` e diagonalizzabile e determinare per tali valori di k gli autospazi di fk. 2 4. Sia z = f (x, y) una funzione continua positiva definita per ogni (x, y) ∈ R2 e sia D un dominio tale che ∫ ∫ D f (x, y) dx dy = ∫ 1 0 dx ∫ x4 −2x f (x, y) dy + ∫ 2 1 dx ∫ (2−x)3 x2−4 f (x, y) dy . Disegnare il dominio D nel piano cartesiano R2 ed esprimere ∫ ∫ D f (x, y) dx dy scambiando l’ordine di integrazione. 5. Dimostrare che l’equazione 3y3 = 6 xy − 3x2 definisce implicitamente, in un intorno del punto (1, 1), una funzione y = y(x). Stabilire se il punto x0 = 1 ` e un estremo locale di y(x) e se la funzione y = y(x) ` e invertibile in un intorno di x0 = 1. 3 6. Risolvere il seguente problema di Cauchy: { y′ = y x ( 1 + ln y x ) y(5) = 1 4