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11.02.2016 — Esercizi Esercizio 1 Per testare un trasmettitore di segnali binari si invia un segnale X e si registra il segnale Y ricevuto. Il segnale in input ` e generato casualmente e l’ output pu` o essere errato, quindi (X,Y ) sono una coppia di variabili aleatorie con la seguente funzione di massa di probabilit` a (ovvero densit` a discreta) congiunta: X = 0 X = 1 pY (yj) Y = 0 0.1 0.55 Y = 1 0.05 pX(xi) 1. Completare la tabella della densit` a congiunta. Soluzione: X = 0 X = 1 pY (yj) Y = 0 0.45 0.1 0.55 Y = 1 0.05 0.4 0.45 pX(xi) 0.5 0.5 1 2. Calcolare P (Y = 1), ovvero la probabilit` a che venga ricevuto il segnale 1. Soluzione: P (Y = 1) =pY (1) = 0.45. 3. Sapendo che ` e stato trasmesso 0, qual ` e la probabilit` a che venga ricevuto 1? Soluzione: P (Y = 1|X = 0) = 0.1. 4. Viene effettuato 200 volte il test. Calcolare la probabilit` a che venga ricevuto pi` u di 100 volte il segnale 1. Soluzione: 0.0678 Esercizio 2 Per stabilire se una certa malattia ematica ha un comportamento diverso tra pazienti maschi e femmine (rispetto al gruppo sanguigno), un campione di pazienti ` e stato suddiviso per sesso e gruppo sanguigno, con i seguenti risultati: gruppo 0 gruppo A gruppo B gruppo AB maschi 52 72 27 19 femmine 98 78 43 11 1. Stabilire se, con la significativit` a del 5%, ` e possibile affermare che vi sia un legame tra la distribuzione della malattia nei vari gruppi sanguigni e il sesso dei pazienti. Soluzione: Test χ2 di indipendenzaRifiutiamo l’ipotesi di indipendenza se u > χ2 0.95;3 = 7.81, poich´ e la statistica test vale u = ∑ i,j (Oij−Eij)2 Eij = 11.39, rifiutiamo l’ipotesi di indipendenza: vi ` e un legame tra la distribuzione della malattia nei vari gruppi sanguigni e il sesso dei pazienti. 2. Servendosi delle tabelle, determinare un intervallo ove…