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Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale - A Luglio 2019 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. Esercizio 1. [4 punti ] Determinare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale di R4 W = Span      1 2 1 0  ,   0 1 2 2  ,   3 0 5 2  ,   −1 4 2 3      . Svolgimento. Costruiamo la matrice avente come colonne i quattro vettori di R4 di cui consideriamo lo Span:   1 0 3 −1 2 1 0 4 1 2 5 2 0 2 2 3  . Operando una riduzione a scala, tramite l’eliminazione di Gauss, otteniamo   1 0 3 −1 0 1 −6 6 0 2 2 3 0 2 2 3  →   1 0 3 −1 0 1 −6 6 0 0 14 −9 0 0 0 0   . Pertanto una base di W ` e data da B =      1 2 1 0  ,   0 1 2 2  ,   3 0 5 2      , e dimW = 3. 1 Esercizio 2. [5 punti ] Stabilire se esiste o meno una base diR3 costituita da autovettori dell’applicazione lineare T : R3→ R3 tale che T (e1) =   2 0 0  , T (e2) =   2 2 0  , T (e3) =   0 2 2  . Svolgimento. Scriviamo la matrice di rappresentazione A di T rispetto alla base canonica di R3. Abbiamo A =   2 2 0 0 2 2 0 0 2   . La domanda posta equivale a stabilire se la matrice A ` e diagonalizzabile o meno. Pertanto determi- niamo gli autovalori di A. Si ha A−λI =   2−λ 2 0 0 2 −λ 2 0 0 2 −λ   . Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga, otteniamo det(A−λI) = (2−λ)3 = 0 per λ = 2. Notiamo che la molteplicit` a algebrica dell’autovalore λ = 2 ` e 3. Per determinare la sua molteplicit` a geometrica, cio` e la dimensione dell’autospazioVλ=2 ad esso associato, risolviamo il sistema lineare omogeneo (A− 2I)x = 0. Il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro: x =   t 0 0   , t ∈ R. Quindi…