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FONDAMENTI DI AUTOMA TICA - Ingegneria Gestionale Prof.ssa Mara T anelli Appello del 11 settembre 2014 1. Si consideri il sistema dinamico non lineare con ingresso u(t) ed uscita y(t) descritto dalle seguenti equazioni ˙x1(t) = 4 γ3x3 1(t) + 4x2(t)u(t) ˙x2(t) = −3x2(t) + 3u(t) y(t) = x2(t), con γ parametro reale non nullo. 1.1 Determinare stato (¯ x1, ¯x2) e uscita ¯ y di equilibrio associati all’ingresso costante u(t) = ¯u = 1, t ≥ 0. 1.2 Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno al punto di equilibrio determinato al punto precedente. 1.3 Studiare la stabilit` a del sistema linearizzato al vari are di γ e valutare, se possibile, la stabilit` a del movimento di equilibrio del sistema non lineare. 2. Si consideri la seguente funzione di trasferimento di un sis tema lineare e tempo invariante di ordine tre H(s) = 5 (s + 10) (s + 1)(s2 + 10s + 100) . 2.1 Determinare tipo, guadagno, poli e zeri di H(s) e la costante di tempo dominante del sistema. 2.2 Si determini l’approssimazione a poli dominanti della f unzione di trasferimento H(s), e se ne tracci il diagramma polare approssimato. 2.3 Si consideri ora lo schema in figura, in cui G(s) rappresenta l’approssimazione a poli dominanti di H(s) calcolata al punto precedente. Posto R(s) = 1, si studi, utilizzando il criterio di Nyquist, l’asintotica stabilit` a del sistema in anello chiuso, e si d eterminino margine di guadagno e margine di fase, commentando brevemente il risultato ottenuto. 3. Si consideri il sistema di controllo in figura con G(s) = −10 1 (s+1)(0.1s+1) e− sτ , ed R(s) = −0.1 s+1 s . 3.1 Posto τ = 0 si discuta se il sistema in anello chiuso soddisfa le segue nti propriet` a: 1) il sistema in anello chiuso ` e asintoticamente stabile; 2) l’errore a tra nsitorio esaurito a fronte di yo(t) = 130…