12 09 19

Pagina 1

Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale - B Settembre 2019 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. Esercizio 1. [5 punti ] Risolvere il sistema lineare    x1−x2−x5 = 1 x1 +x3− 2x4 = 2 x2− 4x4 +x5 = 3 x2 + 2x3 +x4 = 2. Svolgimento. Si tratta di un sistema lineare di quattro equazioni in cinque incognite. La matrice completa del sistema ` e data da A =   1 −1 0 0 −1 1 1 0 1 −2 0 2 0 1 0 −4 1 3 0 1 2 1 0 2   . Effettuiamo la riduzione a scala attraverso il metodo dell’eliminazione di Gauss, denotando d’ora in poi le quattro righe della matrice in esame con I,II,III,IV . Attraverso la sostituzione II→II−I otteniamo A1 =   1 −1 0 0 −1 1 0 1 1 −2 1 1 0 1 0 −4 1 3 0 1 2 1 0 2   , annullando cos` ı tutti i termini della prima colonna sotto il primo pivot. Mediante le sostituzioni III →III−II e IV →IV −II la matrice A1 viene trasformata in A2 =   1 −1 0 0 −1 1 0 1 1 −2 1 1 0 0 −1 −2 0 2 0 0 1 3 −1 1   , annullando tutti i termini sotto il secondo pivot. Infine, mediante la sostituzione IV → IV +III , otteniamo la matrice A3 =   1 −1 0 0 −1 1 0 1 1 −2 1 1 0 0 −1 −2 0 2 0 0 0 1 −1 3   , che ` e ridotta a scala. Le operazioni effettuate conservano le soluzioni del sistema, perci` o possiamo ora risolvere il sistema corrispondente ad A3 mediante risoluzione all’indietro. Tra le cinque variabili presenti, x1,x 2,x 3 e x4 non sono libere, poich´ e corrispondenti a pivot non nulli. L’unica variabile libera ` e perci` ox5; ponendo x5 =t, dall’ultima equazione (x4−x5 = 3) ricaviamo x4 = 3 +t; la terza equazione (−x3−2x4 = 2) fornisce allorax3 =−8−2t; dalla seconda equazione (x2+x3−2x4+x5 = 1) ricaviamox2 = 15 + 3t; infine, utilizzando la prima equazione (x1−x2−x5 = 1) avremox1 = 16…