12 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegnaria Matematica Meccanica Razionale e dei Continui Docente: prof. Michele Correggi Esercitatore: dott. Michele F antechi Foglio di Esercizi 12 Piccole Oscillazioni 1. Si considerino due pendoli accoppiati da una molla, ovvero un pendolo formato da un’asta priva di massa lunga ℓ > 0 collegata all’origine, a cui ` e attaccato un punto materiale di massa m > 0, e una seconda asta collegata al punto (0, ℓ), a cui ` e attaccato un uguale punto materiale. I pendoli sono vincolati a muoversi in un piano verticale in presenza della forza peso e i due punti materiali sono collegati da una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla: 1.1. Si scriva la Lagrangiana del sistema usando come coordinate libere gli angoli ϑ1 e ϑ2 formati dai due pendoli con la verticale; 1.2. si trovino le configurazioni di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a; 1.3. si studino le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile. 2. Si consideri un’asta di lunghezza 4ℓ e massa m incernierata a met` a lunghezza nell’origine, su cui, a distanza ℓ dall’origine, ` e fissato un punto materialeP di massa 2 m. L’asta ` e vincolata a ruotare in un piano verticale in presenza di forza peso. Un secondo punto materiale Q di massa 2 m ` e libero di scorrere lungo l’asta ed ` e collegato al punto fisso da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. 2.1. Usando come coordinate l’angolo ϑ formato dall’asta con l’asse x e la coordinata s che identifica la posizione del punto Q lungo l’asta, si scriva la Lagrangiana del sistema; 2.2. si trovino le configurazioni di equilibrio, che corrispondono al punto Q sull’asta, e se ne discuta la stabilit` a; 2.3. si studino le piccole oscillazioni attorno ad una…