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Fondamenti di Calcolo Numerico Prof. Riccardo Sacco Esame del 12 gennaio 2024 - Punteggio massimo ottenibile: 24/30 REGOLE GENERALI: - l’esame consiste nella soluzione di quattro esercizi. La durata della prova ` e di tre ore. - le risposte alle domande devono essere scritte a mano negli appositi fogli a quadretti distribuiti all’inizio dell’esame. N.B.: Si prega di scrivere nome, cognome e codice a 6 cifre nella prima pagina della vostra soluzione in alto a sinistra. 1 Esercizio 1 (Algebra Lineare Numerica) - massimo punteggio ottenibile: 6/30 1.1 Parte 1 - massimo punteggio ottenibile: 2/30 Sian = 6 e si consideri la matrice A di dimensionin×n che si ottiene mediante i seguenti comandi Matlab: >> n = 6; >> A = gallery(’dramadah’,n); >> A(:,n) = 0; 1. (punteggio: 1/30) Si usi Matlab per verificare che A soddisfa la condizione necessaria e sufficiente affinch` e una matrice ammetta un’unica fattorizzazione LU, con Lii = 1, 1,...,n . Scrivere nel foglio d’esame i comandi Matlab che avete utilizzato per la verifica e i valori dei determinanti dei minori principali di A che sono coinvolti nella verifica. 2. (punteggio: 1/30) Utilizzare la funzione Matlab lu factorization per calcolare la fat- torizzazione LU di A con Lii = 1, 1,...,n . Scrivere nel foglio d’esame i valori degli elementi di L e di U. 1.2 Parte 2 - massimo punteggio ottenibile: 4/30 Sia n = 10 e sia A la matrice n×n ottenuta eseguendo le seguenti istruzioni Matlab: >> n = 10; >> A = gallery(’dramadah’,n); >> A = A + A’ + 5*eye(n); Si consideri il sistema lineare Ax = b (1) dove x = ones(n, 1) e b = Ax. Si utilizzi Matlab e le funzioni indicate nel testo per rispondere ai seguenti quesiti: 1 1. (punteggio: 0.5/30) Costruire la matrice di iterazione BJ del metodo di Jacobi e calcolarne il raggio spettrale ρJ.…