13 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegnaria Matematica Meccanica Razionale e dei Continui Docente: prof. Michele Correggi Esercitatore: dott. Michele F antechi Foglio di Esercizi 13 Meccanica Lagrangiana 1. Un disco omogeneo di massa m e raggio R ` e sospeso in presenza di forza peso ad un punto della sua circonferenza e libero di muoversi in un piano verticale: 1.1. si scriva la Lagrangiana del sistema L (ϑ; ˙ϑ) e le relative equazioni di Lagrange, in funzione dell’angolo ϑ formato dal centro del disco con la verticale; 1.2. si trovi un integrale primo del moto; 1.3. si determini la reazione vincolare nel punto di sospensione in funzione di ϑ(t) e delle sue derivate. 2. Si consideri una lamina quadrata omogenea di massa m e lato ℓ vincolata in un suo estremo ad un carrello libero di scorrere senza attrito lungo l’asse ˆı. La sbarra si muove in un piano verticale in presenza di forza peso: 2.1. si determini il numero di gradi di libert` a del sistema; 2.2. si scriva la Lagrangiana del sistema e le relative equazioni di Lagrange; 2.3. si trovino 2 integrali primi del moto e se ne usi uno per ridursi allo studio di un problema unidimensionale; 2.4. si trovino le configurazioni di equilibrio per il problema unidimensionale e se ne studi la stabilit` a; 2.5. si studino le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile. 3. Si consideri un disco omogeneo di massa m e raggio R che ` e vincolato a rotolare senza strisciare in un piano verticale in presenza di forza peso lungo un piano inclinato di angolo 0 < α < π 2 rispetto all’asse ˆı. 3.1. si scriva la Lagrangiana del sistema usando come coordinata l’angolo ϑ di rotazione del disco e le relative equazioni di Lagrange; 3.2. si trovi un integrale primo del moto e si integrino le…