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15.04.2019 — Esercizi Esercizio 1 Un broker finanziario ha messo sul mercato due prodotti finanziari: il GES1 e il GES2. Dall’analisi di dati storici possiamo affermare che la densit` a discreta di probabilit` a congiunta del rendimento ad un anno di un euro investito nel prodotto GES1 e del rendimento ad un anno di un euro investito nel prodotto GES2 assuma i seguenti valori: 1.1 Si calcolino le densit` a di probabilit` a marginali dei due rendimenti. Soluzione: Il rendimento GES1 risulta distribuito come una variabile aleatoria con uniforme discreta con den- sit` a con supporto{−1, 1} ovvero P{GES1 =k} = 1/2 per k =−1, 1. Il rendimento GES2 risulta distribuito come una variabile aleatoria con densit` a uniforme discreta con supporto{−1, 0, 1} ovvero P{GES2 =k} = 1/3 per k =−1, 0, 1. 1.2 Si calcoli il vettore delle medie e la matrice di covarianza dei due rendimenti. Soluzione: Sfruttando la simmetria delle due marginali si ottiene: E(GES1) = 0 E(GES2) = 0, Var (GES1) =E(GES12) = 1, Var (GES2) =E(GES22) = 2/3, Cov(GES1,GES 2) =E(GES1·GES2) =−2/3. 1.3 Si calcoli la deviazione standard del rendimento di ( i) un investimento di 1.000 euro nel GES1, ( ii) di uno di 1.000 euro nel GES2 e (iii) di uno di 500 euro nel GES1 e 500 euro nel GES2. Soluzione: Osservando che somme investite in una stessa gestione (ogni singolo euro!) hanno lo stesso ren- dimento, mentre le somme investite in gestioni diverse invece hanno rendimenti solo statisticamente correlati si calcola. Siano R1 = 1000·GES1, R2 = 1000·GES2, R3 = 500·GES1 + 500·GES2. Da cui: SD(R1) = 1000 √ 1 euro = 1000, 00 euro, SD(R2) = 1000 √ 2/3 euro = 816, 50 euro, SD(R3) = √ 5002· 1 + 5002· 2/3 + 2· 5002(−2/3) euro = 288, 68 euro. Esercizio 2 Il tempo di rottura di un macchinario (in migliaia di ore) viene descritto da una…