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Tema d’esame 15 Giugno 2020 — Esercizi Esercizio A Il tempo di vita (in mesi) di una batteria descritto da una variabile aleatoria T con densit` a f(t) = { 0 se t< 1 3/t4 se t≥ 1 A1 Determinare P{T >2} Risp. ∫ ∞ 2 3 t4 dt = [ −t−3]∞ 2 = 1 8 ovvero 0.125 A2 Determinare il valore atteso (media o speranza di T Risp. E [T ] = ∫ ∞ 2 3t t4 dt = 3 2 ovvero 1.5 Esercizio B Sia (X,Y ) un vettore aleatorio con densit` a discreta Y =−1 Y=0 Y=1 X = 1 0 0.1 0.2 X = 2 0.2 0.5 0 B.1 Determinare P{X = 1| Y = 1} Soluzione: Si trova subito P{X = 1| Y = 1} = P{X = 1,Y = 1} P{Y = 1} = 0.2 0.2 = 1 B.2 Con riferimento alla domanda B.1 X e Y sono indipendenti? Perch´ e? Soluzione: Non sono indipendenti perch´ e, per esempio P{X = 1| Y = 1} = 1̸= P{X = 1} = ∑ y=−1,0,1 P{X = 1,Y =y} = 0.3 B.3 Con riferimento alla domanda B.1 calcolare Cov[X,Y ] Soluzione: Calcoliamo prima E[X] = P{X = 1} + 2P{X = 2} = 0.3 + 2· 0.7 = 1.7, E[Y ] =−P{Y =−1} + P{Y = 1} = 0 quindi Cov[X,Y ] = E[XY ] = ∑ x,y (xy)P{X =x| Y =y} =−0.2 Esercizio C Un’azienda produce barre d’acciaio della lunghezza nominale di 100 cm utilizzando un processo che garantisce una varianza della lunghezza delle barre prodotte pari a 0.8 cm2. La divisione controllo qualit` a ogni giorno misura un campione casuale di 5 barre per accertarsi che la lunghezza media delle barre prodotte in quella giornata non sia inferiore a 100 cm. C.1 Si imposti un opportuno test statistico per conformare o smentire l’ipotesi nulla secondo la quale la lunghezza nominale delle barre sia pari a 100 cm contro l’ipotesi alternativa secondo la quale la lunghezza media delle barre prodotte in quella giornata sia inferiore a 100 cm. In particolare si assuma normale la distribuzione della lunghezza delle barre prodotte in una giornata e ci si prenda a carico una…