15 11 2010

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Prova in itinere di Analisi Matematica II (Ingegneria Informatica) Prof. Daniele Cassani 15 Novembre 2010 NOME E COGNOME: MA TRICOLA: N.B. Sono concesse due ore e mezza per la risoluzione dei tre esercizi. Non ` e concesso l’uso di libri di testo, appunti ed eserciziari. Non ` e permesso l’uso di calcolatori di alcun genere. Esercizio 1 (a) Dare la definizione di convergenza uniforme per una successione di funzioni e fornire un esempio di successione che non converge uniformemente. (b) Determinare l’insieme di convergenza puntuale e totale della serie +∞∑ n=0 xn √n + 1 (c) Stabilire, giustificando la risposta, se vale l’identit` a ∫ 1/2 −1 +∞∑ n=0 xn √n + 1dx = +∞∑ n=0 ∫ 1/2 −1 xn √n + 1dx Soluzioni: La serie data ha come raggio di convergenzaR = 1 e pertanto converge puntualmente per|x| < 1 e totalmente per |x| < δ, δ∈ (0, 1). Inoltre al bordo del raggio di convergenza si ha che: in x = 1 la serie non converge mentre in x =−1 converge per il criterio di Liebnitz e dunque per il criterio di Abel la convergenza ` e uniforme per x∈ [−1,δ ], δ∈ (0, 1). Pertanto la serie per tali valori di x ` e integrabile termine a termine e vale l’identit` a di cui al punto (c). Esercizio 2 (a) Sia f : A⊂ R2−→ R, dove A ` e aperto. Dare la definizione di funzione differenziabile in (x0,y 0)∈A e fornire una condizione sufficiente per la differenziabilit` a. (b) Data f(x,y ) = xy3 x2 +y6 determinarne il dominio e stabilire se ` e prolungabile per continuit` a in (0, 0). (c) Scrivere l’equazione del piano tangente a z =f(x,y ) nel punto (1, 1, 1/2). (d) Calcolare la derivata direzionale Dvf(3/2, 1) nella direzione v = ( 1√ 2, 1√ 2 ) . (e) Determinare il massimo e minimo assoluti di f sul quadrato [1, 2]× [1, 2]. Soluzioni: La funzione non ` e prolungabile per continuit` a in (0, 0) in quanto ad…