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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 2 - 17 luglio 2015 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Un motore di ricerca sta visitando casualmente siti web alla ricerca di una parola chiave. Supponiamo che la probabilit` a che un sito web contenga tale parola chiave sia 0 .1. Tutti i siti sono indipendenti. 1. Sia X il numero di siti visitati fino alla prima scoperta della parola chiave (compreso). Che legge ha la variabile X? 2. Quanto vale il numero atteso dei siti visitati fino al primo ritrovamento della parola chiave? 3. Calcolare la probabilit` a di visitare 4 siti senza trovare la chiave. 4. Consideriamo solo i primi 10 siti visitati e denotiamo con Y il numero di siti in cui ` e stata trovata la parola chiave. Qual ` e la legge diY ? 5. Calcolare la probabilit` a che almeno 2 siti sui primi 10 contengano la parola chiave. 6. Qual ` e la probabilit` a di trovare la parola chiave in almeno 150 siti su 1000 visitati? 1 Soluzione. 1. Essendo la ricerca governata da un processo di Bernoulli di parametro 0 .1, la legge di X ` e una geometrica di parametro 0.1. 2. Se X∼ Geom(p) allora E[X] = 1/p pertanto in questo caso E[X] = 10. 3. La probabilit` a di non trovare parole chiave in 4 siti fissati (ad esempio i primi 4 siti visitati) ` e 0.94 = 0.6561. 4. Y ha una legge Binomiale B(10, 0.1). 5. P(Y ≥ 2) = 1− P(Y = 0)− P(Y = 1) = 1− 0.910− 10· 0.1· 0.99 = 0.263901071. 6. Utilizziamo l’approssimazione gaussiana per il numero Z di siti con la parola chiave su 1000 siti visitati: chiaramenteZ∼B(1000, 0.1). Quindi Z≈H∼N (1000∗ 0.1, 1000∗ 0.1∗ 0.9) =N (100, 90). Da cui P(Z≥ 150) = P(Z >149.5) = P (Z− 100√ 90 > 149.5− 100√ 90 ) ≈ P (H− 100√ 90 > 49.5 9.48683298 ) = 1−…