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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Secondo Appello di Statistica per Ingegneria Energetica 17 Settembre 2013 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1. Ogni giorno Salvatore percorre contromano, alla velocitàv di 15 Km/h, una strada lunga 125 metri. La strada viene imboccata dall’altro capo da una macchina ogni 5 minuti, in media, secondo un processo di Poisson. Salvatore aspetta ad imboccare la strada contromano finché non è libera, ma chiaramente questo non impedisce che altre macchine giungano prima che lui arrivi in fondo. Calcolare: (a) il numero medio di macchine incrociate giornalmente da Salvatore mentre pedala contromano, (b) la percentuale di giorni in cui percorre tutta la strada contromano senza incrociare auto, (c) quale velocitàv gli permetterebbe di dimezzare il numero calcolato in (a), (d) quale velocitàv gli permetterebbe di portare al 95% la percentuale calcolata in (b). Soluzione. Posto N (t) = numero di macchine che imboccano la strada nell’intervallo di tempo[0,t ], otteniamo un processo di Poisson di intensitàλ = 1/5 min−1, per cuiN (t)∼P (λt). Posto X = numero di macchine incrociate da Salvatore, dato che Salvatore aspetta ad imboccare la strada contromano finché non è libera, otteniamoX =N (T ), doveT è il tempo che Salvatore impiega a percorrere la strada: T = s v = 125 m 15 Kmh −1 = 0.5 min = 30 sec (a) EX = E [ N (T ) ] =λT = 0.1. (b) P (X = 0) = P ( N (T ) = 0 ) = e −λT = e −0.1 = 0.9048 = 90.48%. (c) 0.05 = EX = λs v = 125 m 5 min 1 v ⇒ v = 125 m 0.05· 5 min = 500 m/min = 30 Km/h. (d) 0.95 = P (X = 0) = e −λs v ⇒ v = λs log(1/0.95) = 487.39 m/min = 29.24 Km/h. 1 Problema 2. I cerotti di nicotina…