17giugnoEsercizi

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Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale Appello Proff. Abatangelo - Noris - Sianesi - Volzone Giugno 2024 Cognome (stampato maiuscolo): Nome: Matricola: Esercizi. Tempo: 1 ora e 45 minuti. Importante: giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. Esercizio 1. [6 punti ] Dato l’insieme S :={(x,y,z,w )∈ R4 : 2 x +y−w = 2y +z− 2w =y +kz−w = 0} (i) dimostrare che è uno spazio vettoriale per ogni valore del parametrok∈ R; (ii) determinarne la dimensione al variare dik∈ R; (iii) per quali valori dik∈ R l’elemento (0, 2, 2, 2)∈S? Soluzione. (i) L’insieme S è esattamente il nucleo dell’applicazione lineareL : R4→ R3 indotta dalla matrice   2 1 0 −1 0 2 1 −2 0 1 k −1   e quindi è uno spazio vettoriale in quanto nucleo di un’applicazione lineare (vd. teorema). (ii) Il metodo di eliminazione di Gauss porta la matrice precedente nella matrice   2 1 0 −1 0 2 1 −2 0 0 1 − 2k 0   e quindi se k = 1 2 abbiamo 2 pivots, perciòdim ImL = 2 e quindi dim kerL = dimS = 4− 2 = 2; se k̸= 1 2 abbiamo 3 pivots, perciòdim ImL = 3 e quindi dim kerL = dimS = 4− 3 = 1. (iii) Laprimaequazioneèsempresoddisfatta. Affinchéilvettoresoddisfilaterzaequazione, dobbiamo imporre k = 0. La seconda equazione non è mai soddisfatta, indipendentemente dal valore dik. Ne deduciamo che per qualunque valorek∈ R il vettore non appartiene aS. 1 Esercizio 2. [6 punti ] Siaf (x,y ) = xy2 ln( √ x2 +y2). (i) Determinare l’insieme di definizione dif; (ii) determinare e disegnare l’insieme di livello nullo dif; (iii) stabilire se esiste, ed eventualmente calcolare, il limite lim (x,y)→(0,0) f (x,y ). Soluzione. (i) L’insieme di definizione dif è R2\{ 0}. (ii) L’insieme di livello nullo dif è dato dall’unione degli assi e della circonferenza unitaria. (iii) Restringendosi agli assi cartesiani si…