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Analisi Matematica II - 18 luglio 2013 - Ing. Gestionale P AR T E A Cognome: Nome: Matricola: Numero d’iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1 . Dare la definizione di matrice diagonalizzabile. Verificar e che se una matrice è diagonalizzabile tramite una matrice ortogonale allora è simmetrica. ⇛⇛ Data una matrice quadrata A, se esiste una matrice non degenere P tale che P −1AP = D, con D = diag (d1, ..., dn) :=      d 1 0 · · · 0 0 d2 · · · 0 . . . . . . . . . 0 0 d n      si dice che A è diagonalizzabile e la matrice P viene anche detta matrice diagonalizzante. In questo caso gli elementi della diagonale di D sono gli autovalori di A e le colonne di P i suoi autovettori. Se P è ortogonale (i.e. P P T = I oppure P −1 = P T ) si dice che A è diagonalizzabile ortogonalmente. In questo caso risulta: P −1AP = P T AP = D ⇓ A = P DP T ⇓ AT = P DP T T = D=DT P DP T = A ⇛⇛ 1 Esercizio 2 Spiegare cosa rappresenta D dxdy motivando la risposta. Calcolare D dxdy, dove D è il parallelo- gramma di vertici (0, 0), (3, 0), (4, 1) e (1, 1). ⇛⇛ Per definizione di integrale doppio D dxdy rappresenta il volume della porzione di spazio R3 compresa tra l’insieme D ⊂ R2, la funzione costante z = 1 e il cilindroide a generatrici parallele all’asse z, passanti per la frontiera ∂D di D. Essendo z = 1 in D, D dxdy rappresenta anche l’area di D. Per quanto riguarda il calcolo, la cosa più semplice è tratta re la cosa con le regole della geometria elementare. area(D) = base × altezza = b × h = 3 Oppure considerare D come x−semplice, cioè D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1; y ≤ x ≤ y + 3} Allora: D dxdy = 1 0 dy y+3 y dx = 1 0 3dy = 3 ⇛⇛ Esercizio 3 Scrivere la generica equazione differenziale lineare del II ordine omogenea a…