20 02 18

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Problema 1. Alla Scuola di Magia e Stregoneria di Hogwarts questo mese è periodo d'esami. Una delle prove più temute è la veri ca scritta di Artimanzia della prof.ssa Septima Vector. La prof.ssa Vector infatti lascia solamente 1.5 ore di tempo per svolgere tutto il compito, e gli studenti spesso non riescono a nire l'esame così velocemente. Dall'esperienza degli anni passati, Hermione Granger sa che un qualsiasi studente riesce a concludere una prova scritta in un tempo T (espresso in ore), che è una variabile aleatoria assolutamente continua con densità f(x) = { ae−bx se x≥ 1 0 se x< 1. Nella formula precedente, a e b sono due parametri reali che dipendono solo dalla materia d'esame. (a) Determinare tutti i valori della coppia di parametri (a,b ) per i quali f è eettivamente una densità di probabilità. Preparandosi insieme ai compagni di scuola sui vecchi temi d'esame, Hermione ha scoperto che per concludere uno scritto di Artimanzia si impiega in media 1 ora di tempo. (b) Determinare il valore dei parametri (a,b ) quando T è il tempo impiegato per uno scritto di Artimanzia. [Suggerimento: Se non riuscite a risolvere i punti (a) o (b) , d'ora in poi ssate a = 3 2 e 3 2 e b = 3 2 ]. (c) Qual è la probabilità che uno studente riesca a nire lo scritto di Artimanzia in meno di 1 ora? (d) E qual è invece la probabilità che riesca a nirlo entro le 1.5 ore assegnate? (e) Al primo appello di Artimanzia sono presenti 40 studenti. Qual è la probabilità che almeno la metà di loro riesca a nire lo scritto in tempo per la consegna? (f) All'ultimo appello di Artimanzia sono presenti invece solo 4 studenti. Qual è la probabilità che almeno la metà di loro riesca a nire il compito per tempo? (g) La prof.ssa Vector sta considerando di allungare la durata del suo scritto, in modo che…