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ANALISI MATEMATICA I PRIMA PROVA IN ITINERE 20/11/2013 Prof.ssa Liliana Curcio 6/4/4/8/6/5 AUTORIZZO PUBBLICAZIONE ESITO PARZIALE ON LINE……………………………… COGNOME…………………………NOME………………………MATRICOLA………………. 1) Risolvere in C la seguente equazione: ( )( ) 0314 33 =−−−+ iiz rappresentare nel piano di Gauss l’insieme E delle soluzioni: 2) Calcolare nel campo complesso gli z che verificano la seguente relazione e rappresentare il risultato ottenuto: ( )iiz 33ln2 +−−= ***************** 3) Disporre in ordine crescente di infinitesimo le seguenti successioni e motivare la risposta indicando la più semplice successione asintotica rispetto all’infinitesimo campione standard: 34 213 nnnan −+= ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛+= 3 41ln n bn 1 31 −=n n ec 4) Dopo aver dato la definizione di somma di una serie: Determinare il carattere delle seguenti serie e motivare la risposta indicando gli eventuali criteri utilizzati: ()∑ +∞ + − 1 3 )cos(1 n n n n π ∑ +∞ +0 2 53 nn n ()∑ +∞ + +− 1 1ln 21 n nn Per una delle serie convergenti dire quanti termini occorre sommare per avere un valore approssimato della somma con un errore minore di 210−. 5) Data la funzione: ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ <<−− −≤+ = − 2 222 22 2 3 2 xe xx xxx y x a) Disegnare il grafico: b) Indicare l’insieme delle immagini della funzione: c) La funzione presenta massimi e/o minimi locali? E globali? Elencarli e classificarli. d) Individuare e classificare eventuali punti di discontinuità: 6) Calcolare i seguenti limiti, spiegando il procedimento seguito: ( )3 34 3 1 1ln )(lim − − +→ xx xx x ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛+⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛+ − +∞→ 22 1 3 61ln21 121 lim 3 xxx exx x x Dare la definizione di limite relativa ad uno dei limiti calcolati: