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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 1° prova parziale, 8/5/2009 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 7 7 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In una popolazione di insetti ciascun individuo vive esattamente 3 settimane, dopodiché si riproduce (deponendo in media f uova) subito prima di morire. Le probabilità di sopravvivenza nelle 3 settimane di vita valgono: 001 .00 =s , 1.021 == ss . a) Descrivere la popolazione con un modello a classi d’età. b) Discutere la stabilità del sistema al variare di 0>f . c) Nel caso di asintotica stabilità, discutere il tempo di estinzione della popolazione e l’esistenza di oscillazioni nel movimento libero. d) Introdurre nel modello una variabile d’ingresso che descriva l’immissione di uova dall’esterno e una variabile di uscita che rappresenti il numero di insetti della 3° classe d’età. e) Determinare la funzione di trasferimento. f) Utilizzando la funzione di trasferimento, determ inare il numero di insetti della 3° classe d’età a regime se 610)( == utu e 310=f . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui il blocco A è un integratore, il blocco B è descritto dal modello I/O BBBBB uuyyy 5112 −=++ &&&& , ed il blocco C è descritto da [] 1000 0 0 0 1 2043…