20180207sol

Pagina 1

FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 7/2/2018 COGNOME:______________________ NOME: ______________________ MATRICOLA o CODICE PERSONA: ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza espositiva. 1) Una società finanziaria, all’inizio di ogni mese:  eroga nuovi prestiti di durata quadrimestrale;  riscuote l’interes se sui prestiti esistenti, nella misura del 1% dell’ammontare del prestito;  incassa il rimborso dei prestiti giunti a scadenza;  classifica come “persi”, in media, il 2% dei prestiti esistenti; questi non daranno più luogo ad interessi e non saranno riscuotibili alla scadenza. a) Descrivere tale attività mediante un modello di stato, in cui rappresenta l’ammontare di nuovi prestiti erogati all’inizio del mese e l’ammontare degli interessi riscossi. b) Studiare la stabilità del modello. Se, a partire da , ogni mese i nuovi prestiti erogati ammontano a 100.000 euro: c) Calcolare l’ammontare mensile degli interessi riscossi a regime. d) Determinare dopo quanti mesi il sistema ha raggiunto tale regime. ____________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui il blocco A è un integratore, il blocco B è descritto dal modello ARMA BBBBB uuyyy 5112   , ed il blocco C è descritto dalla terna di matrici  1000 0 0 0 1 2043 1121 0040 0012                    …