21 07 10

Pagina 1

Docenti: D. Cassani, F. Cipriani, C. Perelli Cippo, I. Sabadini Analisi Matematica II - 21/07/10 Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1. (a) Dare le definizioni di matrici simili e di matrici diagonalizzabili. (b) Enunciare le condizioni affinch` e una matrice sia diagonalizzabile per similitudine. (c) Trovare se esistono dei valori del parametro k per i quali sia diagonalizzabile la matrice M =   1 k + 1 0 0 k 0 2 k 1   . Esercizio 2. Il polinomio q = 7 x2 + 5x + 10 pu` o essere espresso come combinazione lineare dei tre polinomi p1 = 2 x2 + 4x + 2 , p2 = 6 x2 + 3x + 9 , p3 = 3 x2 + 3x + 4 ? In caso affermativo esprimere q come combinazione lineare di p1, p 2, p 3 nel modo pi` u generale possibile. Esercizio 3. Risolvere il seguente problema di Cauchy { ex−y y′ − x = 0 y(0) = 3 . Esercizio 4. (a) Verificare che la curva piana γ di equazione x3 − x2 + y − y2 ln(1 +x) = 0 passa per l’origine. (b) Verificare se, nell’intorno dell’origine, γ ` e il grafico di una funzione y = f (x) derivabile. (c) Scrivere l’equazione della retta tangente a γ nell’origine. Esercizio 5. Sia D il parallelogramma di vertici A = (1 , 1) , B = (2 , 2) , C = (3 , 5) D = (2 , 4). Eseguendo un opportuno cambiamento di variabili, calcolare l’integrale ∫ ∫ D e3x−y (x − y) 1 + (x − y)2 dxdy . Esercizio 6. Integrare l’equazione differenziale y′ = ex + 2xy2 ey − 2x2y dopo averla espressa per mezzo di una forma differenziale esatta. Spiegare il significato della costante di integrazione. Docenti: D. Cassani, F. Cipriani, C. Perelli Cippo, I. Sabadini Analisi Matematica II - 21/07/10 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1. (a) Dare le definizioni di matrici…