21 11 2006

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Testo con soluzione I prova in itinere di Fondamenti di Automatica - 21/11/2006 Prof. Maria Prandini 1. Si consideri il sistema con ingresso u ed uscita y descritto dalle seguenti equazioni: ˙x1(t) = −2βx2 1(t) + 2βx2(t) ˙x2(t) = −x2 2(t) + u(t) (1) y(t) = x2(t) dove β ` e un parametro reale non nullo ( β ̸= 0). 1.1 Dire, motivando la risposta, se il sistema ` e lineare o non lineare, statico o dinamico, tempo variante o tempo invariante, strettamente proprio o proprio. Il sistema ` e: - non lineare, perch` e il secondo membro delle equazioni di stato non ` e una combinazione lineare delle variabili di stato e dell’ingresso. - dinamico, perch` e l’uscita al generico istantet non pu` o essere determinata sulla base della conoscen- za del solo ingresso allo stesso istante t. - tempo invariante, perch` e i coefficienti delle equazioni del sistema non dipendono dal tempo. strettamente proprio, perch` e nella trasformazione di uscita non compare l’ingresso. 1.2 Determinare gli stati e le uscite di equilibrio ((¯x1, ¯x2) e ¯y) associati all’ingresso costante u(t) = 1, t ≥ 0. Il valore dell’equilibrio si ottiene uguagliando a zero il secondo membro delle equazioni di stato calcolato ponendo x1(t) = ¯x1, x2(t) = ¯x2 e u(t) = 1, ∀t. { −2β ¯x2 1 + 2β ¯x2 = 0 −¯x2 2 + 1 = 0 da cui si ottiene, tenendo conto del fatto che β ̸= 0, { ¯x2 = ± 1 ¯x2 1 = ¯x2 La seconda equazione non ammette soluzioni nell’insieme dei numeri reali quando ¯ x2 = −1. Per ¯x2 = 1, si ottengono invece due stati di equilibrio: { ¯x1 = 1 ¯x2 = 1 { ¯x1 = −1 ¯x2 = 1 a cui corrisponde la stessa uscita di equilibrio ¯ y = 1. 1.3 Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno allo stato di equilibrio determinato al punto precedente con ¯x1 > 0. Le equazioni del sistema linearizzato attorno all’equilibrio (¯…