21 gennaio 2022

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Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale 21 gennaio 2022 Cognome: Nome: Matricola: Ogni domanda ammette una e una sola risposta corretta. ESERCIZI: 4 esercizi, 23 punti. Esercizio 1 (6 punti) Sia T : R3→ R2 l’applicazione lineare definita da T (E1) = e1 + 2e2, T (E2) = 2e1, T (E3) = e1− e2, dove{E1, E2, E3} denota la base canonica di R3, mentre{e1, e2} ` e la base canonica diR2. Indichiamo con A = (aij) la matrice di rappresentazione dell’applicazione T rispetto alle basi canoniche. 1) (1 punto) Si ha: A. a12 = 1 B. A ` e quadrata C. a23 = 0 D. a23 =−1 V E. A ` e a scala 2) (1.5 punti) Il nucleo di T A. contiene solo il vettore nullo B. ` e uno spazio vettoriale di dimensione 1 generato dal vettore   3 −2 2   C. ` e uno spazio vettoriale di dimensione 1 generato dal vettore   2 −3 4   V D. ` e uno spazio vettoriale di dimensione 2 E. ` e uno spazio vettoriale di dimensione 3 3) (1.5 punti) Data la matrice A introdotta precedentemente, si consideri il sistema lineare Ax = b, al variare di b in R2. Allora A. esiste b∈ R2 per cui questo sistema non ` e compatibile B. esiste b∈ R2 per cui questo sistema ha un’unica soluzione C. per qualunque b∈ R2 questo sistema ha infinite soluzioni dipendenti da un parametro V D. per qualunque b∈ R2 questo sistema ha infinite soluzioni dipendenti da due parametri E. nessuna delle altre 4) (2 punti) Si consideri la matrice C =AT·A, dove AT indica la matrice trasposta di A. Si ha che A. C ` e diagonalizzabile V B. C ` e invertibile C. C ` e ortogonale D. C ` e a scala E. nessuna delle altre 1 Esercizio 2 (5.5 punti) Siano v1, v2, v3∈ R3 definiti da v1 =   1 2 k  , v2 =   0 1 1  , v3 =   −1 1 0  , dovek ` e un parametro reale. Sia poiW = Span{v1, v2, v3}. 1) (1.5 punti) Si ha: A. dimW = 3 se e solo se k̸= 3 V B. dimW =…