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23 Aprile 2021 — Esercizi Domanda A Un tale sta guardando una partita mentre ` e stato assegnato un calcio di rigore (gentilmente e generosamente concesso ai rossoneri, per fissare le idee con una situazione realistica molto frequente) e vede che stanno discutendo su chi deve tirare Fred, Okan e Zoran. Supponiamo che le probabilit` a di segnare siano 9/10 per Frank, 4/5 per Okan e 1/2 per Zoran e che la probabilit` a di tirare siano 1/2 per Frank, 1/3 per Okan e 1/6 per Zoran. Domanda A.1 Calcolare la probabilit` a che il calcio di rigore sia effettivamente realizzato. Soluzione: Indichiamo con F,K eZ gli eventi “rigore calciato da Frank”, “rigore calciato da Okan” e “rigore calciato da Zoran”. Inoltre indichiamo con G l’evento “rigore realizzato”. Sappiamo che P(F ) = 1 2, P(K) = 1 3, P(Z) = 1 6 P(G|F ) = 9 10, P(G|K) = 4 5, P(G|Z) = 1 2 Grazie alla formula della probabilit` a totale P(G) = P(G|F )· P(F ) + P(G|K)· P(K) + P(G|Z)· P(Z) = 4 5. Domanda A.2 Supponiamo che improvvisamente sparisca il segnale e, dopo che viene ripristinato il collegamento, si vede dal punteggio che il rigore ` e stato realizzato ma non si sa da chi. Qual ` e la probabilit` a che l’abbia tirato Frank? Soluzione: Si tratta di calcolare P(F|G) e quindi (formula di Bayes) P(F|G) = P(G|F )· P(F ) P (G) = 9 16 Domanda A.3 Se in tutto il campionato (con 38 partite) a quella squadra venissero assegnati 30 rigori (approssima- zione per difetto nel caso dei rossoneri), e li tirasse tutti Frank quanti ne realizzerebbe, in media? Soluzione: Sia Xi la variabile aleatoria che vale 1 (rispettivamente 0) se l’ i-esimo rigore ` e stato realizzato (rispettivamente sbagliato). Il numero di rigori realizzati ` e quindi 30∑ i=1 Xi ∼ B(30, 9/10) e pertanto E [ 30∑ i=1 Xi ] = 30· 9 10 = 27. Domanda B Un vettore…