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Probabilit` a e Statistica — 24.06.2021 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Siano A e B due eventi tale che P{A∩B} = 1 3 e P{A} = 1 2. Quali delle seguenti sono ne- cessariamente vere (per ogni scelta di A eB soddisfacenti le condizioni date)? V Fz P{B|A} = 2 3 V Fz P{A∩Bc} = 1 6 V Fz P{B} = 2 3 Domanda 2. Sia X una variabile aleatoria di media 2 e varianza 2. `E possibile di calcolare la media di Y = 2X2 + 1? V FzNo, perch´ e non conosciamoE[X2] V Fz S` ı e vale 13 V FzS` ı e vale 5. Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria con valori in{0, 1, 2} e con una distribuzione data da: P{X = 0} = P{X = 2} = a e P{X = 1} = 1− 2a. Quali valori pu` o assumere la costante a? V FzTutti i valori nell’intervallo [0, 1) V FzSolo il valore a = 1 4 V Fz Tutti i valori nell’intervallo [0, 1/2]. Domanda 4. SiaX una variabile aleatoria,Y =X +1, FX,FY le loro funzioni di ripartizione. Allora, per ogni reale t: V Fz FY (t) =FX(t− 1) V Fz FY (t)≤FX(t) V FzFY (t) =FX(t + 1). Domanda 5. Siano X e Y due variabili aleatorie in- dipendenti identicamente distribuite discrete con densit` a p(x) = 1/2 se x∈{− 1, 1} e p(x) = 0 altrimenti. V Fz Y e XY sono indipendenti V Fz X e XY hanno la stessa distribuzione V Fz X e XY sono independenti Domanda 6. Sia (Xn)n≥1 una successione di variabi- li aleatorie indipendenti con legge uniforme sull’intervallo [−1, 1] V Fz Xn converge a 0 quando n→ +∞ V FzXn converge a 0 quando n→ +∞ V Fz Xn √ 3n, per n grande, ha densit` a approssimati- vamente normaleN (0, 1) Domanda 7. SiaX1,...,X n unn-campione della den- sit` a esponenzialeE(λ) e sia Xn = ∑n…