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Corso di Probabilit` a e Statistica- Prof. Giuseppina Guatteri Appello 3 - 27 agosto 2021 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. PARTE 2 ATTENZIONE: PER I PROBLEMI A-B-C SONO SUFFICIENTI I RISULTATI NUMERICI FINALI, MENTRE PER IL PROBLEMA D FORNITE LA SOLUZIONE ESTESA Problema A. Si consideri la seguente famiglia di funzioni dipendenti da un parametro reale k fk(x) := { kx(x− 1) x∈ [0, 1] 0 altrimenti. (a) Per quali valori di k∈ R la funzione fk rappresenta la densit` a di una variabile assolutamente continua? (b) Sia X la variabile avente la densit` a trovata al punto precedente. Calcolare il valore atteso, la varianza e la funzione di ripartizione. (c) Siano {Xi}100 i=1 una famiglia di variabili i.i.d. con densit` a calcolata al punto (1). Calcolare, ricorrendo ad un’opportuna approssimazione P(∑100 i=1Xi≥ 55| ∑100 i=1Xi≥ 50). Soluzione: (a) Poich´ e il segno difk ` e univoco per ognik, si ha che ∫ Rfk(x)dx = 1 implica fk(x)≥ 0 per ogni x∈ R. 1 = ∫ R fk(x)dx = ∫ 1 0 kx(x− 1)dx =−k(x2/2−x3/3)|1 0 =−k/6 da cui si ha l’unica soluzione k =−6 (b) Poich` e il supporto della densit` a ` e limitato, alloraE[|X|n] esiste per ogni n≥ 0; in particolare, visto che la densit` a ` e pari rispetto ax = 1/2 si ha E[X] = 1/2. Naturalmente si pu` o procedere anche tramite calcolo esplicito E[X] = ∫ R xf−6(x)dx =− ∫ 1 0 6x2(x− 1)dx = (2x3− 3x4/2)|1 0 = 1/2 E[X2] = ∫ R x2f−6(x)dx = ∫ 1 0 6x3(1−x)dx = (3x3/2− 6x5/5)|1 0 = 3/10 da cui Var(X) = 3/10− 1/4 = 1/20. Infine, essendo ∫ t 0 6x(1−x)dx = 3t2− 2t3 si ha FX(t) =    1 t≥ 1 3t2− 2t3 t∈ (0, 1) 0 t≤ 0. 1 (c) Applicando il TCL abbiamo l’approssimazione ∑100 i=1Xi≈Y ∼N (100/2, 100/20) =N (50, 5). Pertanto P (100∑ i=1 Xi≥ 55 ⏐⏐⏐ 100∑ i=1 Xi≥ 50 ) =…