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Probabilit` a e Statistica — 18.02.2022 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Siano A e B due eventi tale che P(A ∩ B) = 1 3 e P(B|A) = 2 3. Quali delle seguenti sono neces- sariamente vere (per ogni scelta di A e B soddisfacenti le condizioni date)? V Fz P(A) = 1 2 V Fz P(A ∩ Bc) = 1 6 V Fz P(B) = 2 3 Domanda 2. Siano X una variabile aleatoria di de- viazione standard σ e a, b due numeri reali. Quali delle seguenti ` e necessariamente vera (per ognia, b ∈ R e σ > 0 )? V Fz V ar(aX + b) = aV ar(X) + b V Fz V ar(aX + b) = a2V ar(X) V FzLa deviazione standard di aX + b ` e uguale aaσ Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria con valori in {0, 1, 2} e con una distribuzione data da: P {X = 0} = P {X = 2} = a/4 e P {X = 1} = 1 − a/2. Quali valori pu` o assumere la costante a? V FzTutti e soli i valori nell’intervallo [0 , 1) V FzSolo i valori {0, 1, 2} V Fz Tutti e soli i valori nell’intervallo [0 , 2] Domanda 4. Sia X una variabile aleatoria, Y = 2X, FX , FY le loro funzioni di ripartizione. Allora, per ogni reale t: V Fz FY (t) = FX(2t) V Fz FY (t) ≤ FX(t) V Fz Se P(X < 0) = 0 allora FY (t) ≤ FX(t). Domanda 5. Siano A e B due eventi tali che A ⊆ B. V Fz A e B sono sempre indipendenti V Fz A e B sono indipendenti se e solo se P(A) = 0 o P(B) = 1 V Fz A e B non sono mai indipendenti V Fzse A e B sono indipendenti allora P(A) = 0 e P(B) = 1 Domanda 6. Se in un test d’ipotesi con livello di signi- ficativit` aα = 0.05 calcolo il p-value e trovo 0.036. Quali delle seguenti sono sempre vere: V Fzaccetto l’ipotesi nulla con probabilit` a 0.05 e la rifiuto con probabilit`…