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Probabilit` a e Statistica — 13.04.2022 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Problema A Punti Problema B Punti Problema C La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Gli studenti multichance sono tenuti a rispondere solamente alle prime 7 domande. Domanda 1. Siano A e B due eventi tale che P (A) = 0.3, P (B) = 0.5 e P (A∪B) = 0.65. Quali delle seguen- ti sono necessariamente vere (per ogni scelta di A e B soddisfacenti le condizioni date)? V FzP (A∩B) = 0.2 V Fz A e B sono indipendenti. V Fz P (A\B) = 0.15 V FzP (A∪Bc) = 0.6 Domanda 2. Sia X una variabile aleatoria binomia- le di parametri n = 1000, p = 0.001 e con funzione di ripartizione F . V FzVar (2X + 1) = 1.998 V Fz P (X <2)≈ 2e−1 V Fz P (X = 400)≈ e−1 400! Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria con funzione di densit` a data da: f(x) = { a(x + 1) se − 1<x< 0 0 altrimenti e con funzione di ripartizione F . V Fza =−1 V Fz P (− 1 2 <X < 1 2) = 1−F (− 1 2) V FzLa mediana di X ` e uguale a−1+ √ 2 2 V Fz P (|X + 1 3|≥ 1 3)≤ 1 2 Domanda 4. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete con massa (o densit` a) congiunta: (x,y) (-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1) p(x,y) 3 8 1 8 3 8 1 8 V Fz Cov(X,Y ) = 0 V FzX e Y non sono indipendenti. V FzE(Y ) =− 1 2 e Var (Y ) = 1 V Fz Var (X2) = 0 Domanda 5. Sia X ∼ N(0, 1) e Y = aX +b con funzioni di ripartizioni FX = Φ e FY . V FzE(Y ) =b e Var (Y ) =a V Fz Y ∼N (0, 1) se e solo se a =±1 e b = 0. V FzPer ogni a̸= 0, FY (x) = Φ(x−b a ),∀x∈ R. V FzSe a =−1 e b = 0; F−X(x) = 1− Φ(x),∀x∈ R. Domanda 6. Sia X una variabile aleatoria. V Fz Se X ` e una variabile aleatoria geometrica di parametro 1 3, P (X = 8|X >6) = 2 9. V FzSe X ` e una variabile aleatoria esponenziale di parametro…