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Corso di Probabilit` a e Statistica- Prof. Giuseppina Guatteri Appello 2 - 10 giugno 2022 Nome e cognome: Matricola: © I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. PARTE 2 ATTENZIONE: PER GLI ESERCIZI 1-2-3 SONO SUFFICIENTI I RISULTATI NUMERICI FINALI, MENTRE PER L’ESERCIZIO 4 FORNITE LA SOLUZIONE ESTESA. GLI STUDENTI CON DSA SONO TENUTI A RISPONDERE SOLAMENTE AGLI ESERCIZI 1-2-4. Esercizio 1 Si consideri la seguente famiglia di funzioni ad un parametro p ∈ R fp(x) :=    −p/3 x = 1, 2, −2 2p2/9 + p 6 + 9 32 x = −1 −p x = 0. 1. Determinare il valore di p affinch´ efp risulti una densit` a discreta. In tal caso si denoti con X una variabile con tale densit` a. 2. Calcolare il valore atteso e la varianza di X, 3. Calcolare P − 1 2 < X ≤ 3 2
e P X ≤ 3 2 |X > − 1 2
. 4. Calcolare P(X2 ≥ X). Soluzione. 1. Le condizioni necessarie e sufficienti sono fp(x) ≥ 0 per ogni x ∈ R eP x∈R fp(x) = 1. Impostiamo la seconda condizione 1 = X x∈R fp(x) = 2p2 9 + p 6 + 9 32 − p − p = 2p2 9 − 11p 6 + 9 32 che equivale a 0 = 2p2 9 − 11p 6 − 23 32 = p 3 + 1 8
2p 3 − 23 4
che restituisce le due soluzioni p = −3/8 e p = 69/8 di cui solo la prima rispetta la prima condizione. Pertanto l’unica densit` a ` ef−3/8 che d’ora in poi denoteremo semplicemente con f e sia X una variabile di tale densit` a. f(x) :=    1/8 x = 1, 2, −2 1/4 x = −1 3/8 x = 0. 2. Il valore atteso si ottiene nel modo seguente µ := E[X] = X x∈R xf(x) = 1 8 + 21 8 − 21 8 − 1 4 = −1 8 mentre la varianza si calcola a partire da E[X2] = X x∈R x2f(x) = 1 8 + 41 8 + 41 8 + 1 4 = 11 8 che implica σ2 := var(X) = E[X2] − E[X]2 = 87/64. 1 3. Chiaramente P(X ∈ I) =P x∈I f(x) da cui P(X ∈ (−1/2, 3/2]) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2. Similmente P(X ≤ 3/2|X > −1/2) = P(X ∈…