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Corso di Probabilit` a e Statistica Matematica- Prof. G. Guatteri Appello 3 - 29 agosto 2022 Nome e cognome: Matricola: ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Esercizio 1 Due corridori percorrono una pista nei tempi aleatori T1 e T2 rispettivamente (in minuti). T1 ha valori nell’insieme {1, 2} mentre T2 ha valori in {1.1, 1.4}. Si consideri la seguente tabella congiunta T2 \T1 1 2 1.1 0.6 − 2p 0.2 + 2p 1.4 0.1 0.1 − p 1. Per quali valori di p la tabella rappresenta una densit` a discreta (congiunta)? 2. In corrispondenza ai valori di p trovati in precedenza, calcolare le densit` a marginali diT1 e T2. I tempi dei corridori sono variabili indipendenti? 3. Calcolare la probabilit` a che il corridore 1 vinca, ovvero sia pi` u veloce a percorrere la pista. Su quale corridore ` e meglio scommettere? 4. Calcolare la probabilit` a che, su 100 gare indipendenti, il corridore 1 vinca almeno 71 volte. Soluzione. 1. Dalle condizioni (P i,j pi,j = 1 pi,j ≥ 0 ∀i, j si deduce p = 0. Si ha la tabella T2 \T1 1 2 1.1 0.6 0.2 1.4 0.1 0.1 2. Le marginali si calcolano come da tabella seguente T2 \T1 1 2 Marg. T2 1.1 0.6 0.2 0.8 1.4 0.1 0.1 0.2 Marg. T1 0.7 0.3 1 Si vede immediatamente dalla tabella precedente che P(T1 = x)P(T2 = y) ̸= P(T1 = x, T2 = y) per tutti i valori assunti dalle variabili x ∈ {1, 2} e y ∈ {1.1, 1.4}; pertanto le variabili non possono essere indipendenti. 3. L’evento {T1 < T 2} coincide chiaramente con l’evento {T1 = 1} mentre l’evento {T1 = T2} ha prob- abilit` a 0. Pertanto la probabilit` a di vittoria del corridore 1 ` eP(T1 < T 2) = 0 .7. Quindi conviene puntare sul corridore 1. 4. Sia Xi la variabile di Bernoulli che vale 1 se e solo se all’ i-esima gara il corridore 1 vince. Le variabili sono i.i.d.…