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Analisi Matematica 2 e Compl. di Alg. Lineare – ITEA – prof. Citrini 5° appello – 23 gennaio 2018 Prova5Edi_An2_2017_sol.docx 1/4 23/01/2018 COGNOME …………………… Nome ……………… Matr. ………… Firma …………………… Esercizio 1 a b 2 c d 3 e f g 4 h i j k Totale Punteggio 4 1 3 3 2 2 1 5 5 5 2 33 Voto Tempo a disposizione: 2 h 30’. Consegnare solo questi fogli. Per ogni esercizio, indicare la risposta nell’appos ito spazio e giustificarla per sommi capi. Scrivere eventualmente qualche passaggio sul retro. Non è ammesso l’uso di libri, appunti e dispositivi elettronici. 1. Dato il sistema
 − 1 −  +  = 1  − = 0 2 +  −  =  a) Determinarne le soluzioni al variare del parametro reale k, discutendo i risultati in base alla teoria. Volendo procedere in modo elementare, si nota che d alla seconda equazione si ricava z = x; quindi il sistema è equivalente a 2 − 1 −  = 1 2 −  +  =  . Sommando queste equazioni si ha  + 1  =  + 1 , da cui, se  ≠ −1 ,  = =   = 1, e  =  − 2 −  = 2 − 2 . Se invece  = −1 , questa equazione diviene 0 x = 0, identicamente soddisfatta ∀ x, mentre  = −1 − 3 e sempre z = x; le soluzioni sono dunque infinite. La teoria richiede di studiare il rango della matri ce dei coefficienti A =   − 1 −1  1 0 −1 2 1 −  , il cui determinante vale  + 1 , e quindi si annulla per  = −1 . Pertanto per  ≠ −1 rk(A) = 3, e il teorema di Cramer garantisce esistenza e unicità della soluzione. Invece per  = −1 risulta rk(A) = 2. La matrice ampliata, per questo valore del parametro, è (A, b) =  −2 −1 1 0 2 1 −1 1 −1 0 1 −1  , che ha evidentemente rango 2 perché la terza riga è l’opposto della prima. Pertanto il sistema ammette ∞ = ∞ soluzioni, date dalla somma di una soluzione parti colare con il nucleo. Vettorialmente:   =  0 −1 0  + …